Bästa svaret
Som du har fått veta i andra svar är √243 9√3.
3 ^ 5 = 3 ^ 4 • 3 = (3 ^ 2) ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • (√3) ^ 2 = (9√3) ^ 2
så numret som är kvadratiskt är lika med 243 är det irrationella talet som jag vill skriva som 9√3. Det är vad jag kallar ”förenklad” eller i ”enklaste form.”
Om jag vill förenkla en kvadratrot (eller en kubrot eller …) börjar jag med att hitta ”primfaktorisering” av talet under roten.
För primfaktoriseringen av ett tal börjar jag dividera i serie med primtalsdelare i ordning tills det slutliga resultatet är 1. Uppenbarligen är siffran produkten av alla siffrorna I dividerat med.
När jag tittar på 243 inser jag att det är ett udda tal.
Eftersom det inte är jämnt kommer jag inte att dela det med det minsta primtalet: 2 .
Nästa minsta primtal är 3, och jag inser att 243 är delbart med 3 (och även med 9) eftersom summan av siffrorna är en multipel av 3 och 9.
243 ÷ 3 = 81, så 243 = 81 * 3.
Vid den tiden känner jag igen 81 som 9 • 9 eller som 3 • 3 • 3 • 3 = 3 ^ 4, och vet att 243 = 81 • 3 = 3 ^ 4 • 3 = 3 ^ 5.
Om jag behövde ett annat nummer än 243, eller om jag var tvungen att ”visa mitt arbete” för någon som insisterade på att jag skulle göra det ,
Jag skulle fortsätta dela med 3 medan Jag kunde få ett heltalresultat och sedan fortsätta dividera med vilket primtal som fungerade, försöka 3, 5, 7, 11, 13, 19, tills jag kom till ett primtal som när det var kvadrat var mer än det tal jag försökte att dela. Om jag till exempel från början eller efter vissa divisioner måste hitta något som delar 101, efter att ha provat 2, 3, 5 och 7, och upptäckt att ingen av dem delar 101, skulle jag se att 101 i kvadrat är 121 Eftersom den kvadraten är större än 101, skulle jag inte försöka dela med 11, eller 13 eller 19, jag skulle dra slutsatsen att det enda primtalet som delar den är 101, dividerar 101 med 101 och görs.
Svar
Kvadratroten på 243 är det icke-negativa talet, som, i kvadrat, ger 243. Det är vad det är, från definitionen av kvadratroten. (Symboliskt säger vi att \ sqrt {a} är det icke-negativa talet x som uppfyller x ^ 2 = a.)
Det är lite större än 15 (vars kvadrat är 225) och lite mindre än 16 (vars kvadrat är 256).
Faktorisering av 243, som gjort i Bijay Shahs svar på denna fråga, ger oss att 243 = 3 ^ 5, så \ sqrt {243} = 3 ^ \ frac52 = 9 \ sqrt {3}. Eftersom \ sqrt {3} \ ungefär 1,7 överensstämmer detta med vad vi såg ovan.
Eftersom 243 inte ens befinner sig i alla dess viktigaste faktorer dess kvadratrot är irrationell, så det finns ingen begränsad decimalrepresentation av kvadratrotet. Det hjälper att veta att ett tal inte är dess decimalrepresentation; representationer av tal är vanligtvis inte unika.