Bästa svaret
\ frac {d} {dx} är inte en ”sak”. Du bör tänka på det som om det är namnet på en åtgärd eller åtgärd eller en funktion som tar en ingång. [1]
Specifikt, om f (x) är en funktion, kanske vi vill utföra differentieringsåtgärden på den funktionen; ett sätt att skriva den åtgärden är \ frac {d} {dx} f (x). Detta betyder att f (x) är ingången till operationen av differentiering-med-avseende-till-x.
Grammatiskt är \ frac {d} {dx} inte ”en fullständig mening” , eller till och med ett självförsörjande substantiv. Det är mer som ett verb som behöver ett direkt objekt. Det direkta objektet kan vara vilken funktion som helst av x – i synnerhet om y är en funktion av x, är \ frac {d} {dx} y vettigt att skriva . På engelska betyder den här frasen ”resultatet av att ta derivatet-med-respekt-till-x av y”. För korthet skriver vi vanligtvis detta som \ frac {dy} {dx}, men tills du är bekväm med notationen \ frac {d} {dx}, jag föreslår att du fortsätter skriva inmatningen till differentieringen till höger, som jag har gjort.
Till din andra fråga: kedjeregeln är metoden för beräkning av ett derivat av en sammansättning av funktioner.
[1] Ja, jag vet, funktioner är också saker.
Svar
Låt f vara funktionen:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ höger) där x\_ {1} = x\_ {1} \ vänster (t \ höger), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ vänster (t \ höger)
Låt ”beräknar \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Genom att differentiera (1) får vi:
(2) df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f } {\ partial x\_ {n}} dx\_ {n}
Om vi delar båda sidor med dt blir resultatet:
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Vi får slutresultatet:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} x ”\_ {1} (t) + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {n}} x ”\_ {n} (t) Denna härledning görs med hjälp av definitionen av differential för en multivariabel funktion (ekvation (2)).
Så hur fick vi denna definition? Låt oss först se hur vi definierar att f är differentierbar någon gång A.
Om vi kan visa att den totala skillnaden för en funktion f vid någon tidpunkt A ser ut så här:
\ triangel f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ triangel x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
där p\_ {k} är någon numerisk koefficient, \ omega är en funktion som har en egenskap som \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 och \ rho (X, A) är euklidiskt avstånd mellan A och X så säger vi att funktion f kan differentieras vid punkt A.
Nu behöver vi en sats till:
Uttryck \ omega (X) \ rho (X, A) från ovan kan skrivas som:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Bevis:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ höger) \ höger)
eftersom | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), eftersom | x\_ {k} -a\_ {k} | är kanten en d \ rho (X, A) är diagonalen för rätvinklig parallellpiped. Vi kan ta fraktionen till \ epsilon\_ {k} (X).
Nu behöver vi bara en sats till för att komma till differentialen. Denna sats ger oss nödvändiga förutsättningar för att få funktionens differens.
Om funktionen f är kan differentierad vid någon punkt A, då finns det partiella skillnader vid den punkten och det är sant att:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Bevis:
Eftersom vi har sagt att f kan differentieras vid punkt A kan vi skriva:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Låt oss säga att n-1-variabler här är konstanta, och vi låter bara en förändring till exempel. Till exempel: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n} får vi:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. På vänster sida har vi differential med avseende på x\_ {1}. Om vi delar båda sidor med x\_ {1} -a\_ {1} = \ triangel x\_ {1} får vi:
\ frac {\ triangel f\_ {x\_ {1}}} {\ triangel x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Nu, om x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , det vill säga \ triangel x\_ {1} \ mapsto 0, på vänster sida har vi partiell differential med avseende på x\_ {1}, och på höger sida har vi kvar med p\_ {1} eftersom vi har sagt att \ omega (X) \ mapsto 0. Det är lätt att se att samma resultat gäller oavsett vilken variabel vi slutligen ändrar, därför har vi bevisat denna sats. Härifrån har vi det
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ { n}} dx\_ {n} som vi använde för att hitta lösningen.