Bästa svaret
2 ^ 30 * 3 ^ 20
= (2 ^ 3) ^ 10 * (3 ^ 2) ^ 10
= 8 ^ 10 * 9 ^ 10
= (8 * 9) ^ 10
= 72 ^ 10
sedan 72 mod 7 = 2,
72 ^ 10 mod 7
= (2 ^ 10) mod 7
= 1024 mod 7
= 2
Svar
Du kan bara skjuta upp en dator och fråga den, och jag fick 1091132094649, men du måste mena, hur kan detta göras med ett minimum av penna- och pappersarbete, eller hur kan ett mycket större problem göras på en dator utan extravagant användning av CPU-cykler.
Du förmodligen vill ha den kinesiska restsatsen för detta. 20 = 2 ^ 2 * 5, så 20 ^ 10 = 2 ^ 20 * 5 ^ 10.
Så vad är 3 ^ 30 mod 5 ^ 10? Arbeta i bas 5-aritmetik. 3 ^ 3 = 102, 3 ^ 6 = 102 * 102 = 10404, 3 ^ 12 = 114001231, multiplicera nu med 3 ^ 3 = 102, men KASSERA alla siffror bortom den 10: e effekten av 5: 12133131112 trimmas till 2133131112. Slutligen kvadrerar detta ut, kasta allt över den 10: e kraften av 5 när du går: 4304012044. Bas 10, för att komma tillbaka till välbekant gräs är det här 9047774.
Nu vill du ha 3 ^ 30 mod 2 ^ 20. Samma övning, men den här gången arbetar du i binär. Det slutar med att du lär dig att det är 686265 mod 2 ^ 20.
Nu är det dags för den kinesiska restsatsen. Detta säger att med tanke på två relativt primära moduler, här 2 ^ 20 och 5 ^ 10, och kongruensförhållanden mod vardera, här att svaret är 9047774 mod den första och 686265 mod den andra, finns det ett unikt n mellan 0 och produkten av dina moduler, mindre 1. Och du hittar det via tanken att om n = a mod p och b mod q, då n = a + pk så (a + pk) = b mod q. så pk = (b-a) mod q, så k = (invers av p) * (b-a) mod q. Och det omvända av p mod q finns med den utökade euklidiska algoritmen. (Du extraherar gcd av p och q, med vetskap om att det blir 1 till slut, men håller reda på vad du lär dig om s * p + t * q = mindre och mindre, när du går, tills du får s * p + t * q = 1 och sedan är s inversen av p mod q.)