Bästa svaret
Förklarar med hjälp av ett exempel. Figuren visar ett fackverk laddat och stödt som visat. Vårt intresse är att ta reda på reaktioner och krafter i alla medlemmar i ett fackverk. Reaktionerna och krafterna i elementen beror inte bara på de applicerade krafternas storlek och riktning utan också på deras placering dvs applikationspunkterna. Rumsdiagrammet tar hand om krafttillämpningspunkten och fackets geometri.
Ovanstående figur är bara för att få reaktionerna. Tillämpad kraft P\_1 är ab och kraft P\_2 är bc i vektordiagrammet. Reaktion R\_1 är lika med da och Reaktion R\_2 är lika med cd i vektordiagrammet.
Vi kan gå vidare med rymddiagrammet och vektordiagrammet för att beräkna krafter i alla medlemmar. Inte gjort här bara för att hålla figuren mycket enkel att förstå.
Jämviktsförhållandet uppfylls när vektordiagrammet och linbana polygonen stängs.
Svar
Det är inte helt klart vad ”positioner” betyder här, men jag tror att ett svar kan vara att vektorer inte har positioner men vektorrymden kan ha positioner, och dessa två idéer täcker applikationerna.
I Jag antar här att bristen på ”positionalitet” i frågan hänvisar till det faktum att parallella ”pilar” med samma längd och orientering representerar samma vektor. Det finns många anledningar till att införa denna konvention.
- En av de grundläggande idéerna bakom grundläggande vektoranvändning är begreppet förskjutning , som också är källan till hastighet, acceleration och (via F = ma) kraft. Förskjutningar har ingen position, snarare finns det en potentiell förskjutning av en given riktning och storlek vid varje position. Om vi säger ”gå tio mil nordväst” är det en förskjutningsinstruktion som gäller överallt och inte en viss plats bara.
- Förskjutningar kan kombineras, men bara om den andra förskjutningen börjar där den första slutar . Om förskjutningarna representeras av pilar måste en av pilarna översättas för att få en kombinerad förskjutning för att få en svans-mot-huvud-konfiguration för den kombinerade förskjutningen. Naturligtvis skulle det inte vara vettigt om den översatta pilen inte fortsatte att representera samma förskjutning.
- Erfarenhet av krafters beteende kräver förmågan att översätta kraftpilar runt, eftersom när det gäller krafter föremål beter sig som om all massa är koncentrerad till tyngdpunkten och alla krafter verkar på den punkten. (Jag har varit försiktig med mitt kursiverade språk här, eftersom något annat händer när vridmoment införs!)
Den matematiska abstraktionen som täcker alla dessa situationer är vektorrummet. Om vi behöver ha pilar som kan placeras var som helst, inför vi en ekvivalensrelation på uppsättningen pilar, vilket gör två pilar ekvivalenta om de är parallella och har samma riktning. (”Samma riktning” har intuitivt innehåll som är lite knepigt att göra systematiskt.) En -vektor blir sedan en ekvivalensklass av pilar, och vektortillägg definieras genom att ta ”praktiska” klassrepresentanter och lägga till dem antingen genom svans-mot-huvudet eller parallellogramlagen.
Användning av ekvivalensklasser och deras företrädare borde inte verka märkliga alls; det är precis vad vi gör med bråk. En ”bråk” kan betraktas som en ekvivalensklass av symbolerna a / b (b \ ne 0) under ekvivalensrelationen a / b \ ekviv (na) / (nb). När vi vill lägga till två ”fraktioner” rotar vi om deras respektive ekvivalensklasser tills vi hittar två representanter med samma nämnare och lägger sedan till täljarna. Vektortillägg är mycket analogt med detta. Dessutom, med bråk, finns det en ”föredragen” uppsättning klassrepresentanter, fraktionerna ”i lägsta termer.” För vektorer finns det också en ”föredragen” klass av representanter, vektorerna vars svansar är i början, och dessa är vad som betraktas som de abstrakta elementen i ett vektorrymd när pilanalogin är i spel.
Nu finns det situationer där det verkligen spelar någon roll var pilen är, det är ingen mening att flytta pilen, och pilar placerade vid olika punkter kan inte och bör inte läggas till. En väderkarta med pilar som representerar vindhastigheter på olika platser är ett sådant exempel. De tidigare nämnda vridmomenten är också ett exempel; platsen för en kraft i förhållande till tyngdpunkten är viktig och kraftpilen kan inte översättas till en annan punkt utan att det resulterande vridmomentet ändras. (Observera förresten att själva vridmomenten är vektorer än vad som kan läggas till.) För ett generiskt matematiskt exempel består gradientfältet i ett skalärt fält av pilar som är fästa på vissa platser och inte är godtyckliga översättbara.
En elementär observation om dessa positionsberoende vektorer är att den vanliga vektorn rymdlagar (addition och skalär multiplikation) fortsätter att hålla för alla vektorer i en enda fast position . Detta talar om för oss att ”lösningen” på det positionsberoende rådet är att placera ett helt vektorutrymme vid varje punkt i det aktuella utrymmet. De resulterande utrymmena är kallas vanligtvis tangentrymden , eftersom tangentutrymmet vid en punkt kan betraktas som en uppsättning av alla hastighetsvektorer för parametriserade banor genom den punkten (förutsatt tillräcklig differentiering för beskrivningen för att ge mening).
Samlingen av alla tangentrum kallas tangent bunt, och nu om du behöver ha en positionsberoende vektor vid varje punkt i ditt utrymme, behöver du en karta från utrymmet till tangentbunten som plockar ut exakt en vektor i varje tangentutrymme vid distinkta punkter; en sådan karta kallas en sektion i bunten, och den resulterande samlingen av positionsberoende vektorer kallas en vektorfält på det ursprungliga utrymmet.
På det här sättet får vi ta vår tårta och äta den också; vektorer har inte ”positioner” men vektorrymden har.