Bästa svaret
För en matematiker är en tensor en viss typ av vektor (och en vektor är också en degenererad typ av tensor). Det är inte så att de i sig är markant olika saker.
Snarare, till alla vektorrymden V\_1, V\_2, … kan man unikt koppla ett annat vektorrymd V\_1 \ otimes V\_2 \ otimes. .., kallade deras ”tensorprodukt”, med egenskapen att linjära kartor från tensorprodukten motsvarar multilinjära kartor från de ursprungliga utrymmena. Då är vektorerna i V\_1 \ otimes V\_2 \ otimes … det som kallas ”tensors”, men detta är bara ett sätt att beskriva hur de är relaterade till vektorerna i de ursprungliga utrymmena V\_1, V\_2, …, snarare än en inneboende egenskap. Man kan också (vanligtvis som icke-matematiker) välja att reservera ordet ”vektor” för vektorerna i de ursprungliga utrymmena och inte använda det för att beskriva vektorer i tensorutrymmena, men detta är återigen en relativ beteckning snarare än en observation av inneboende skillnader.
(Oftast i fysiken lever de tensorer som man berör i tensorprodukterna i flera kopior av ett enda vektorutrymme V och flera kopior av sitt dubbla utrymme; antalet kopior av vardera ger tensorproduktens så kallade kontravaranta och kovarianta rader)
Svar
En tensor är en generalisering av en vektor (inte en matris, exakt).
En vektor är en tupel som följer de korrekta transformationslagarna – om du till exempel utför en rotation representerad av matris R, är den nya vektorn V ”= RV. En tensor är en generalisering av detta till fler dimensioner . Det tar en kopia av R för varje rang i tensorn. En rank-2 tensor (representerbar som , men inte samma som en tvådimensionell matris) förvandlas med 2 kopior av R. T ”= RRT (en som verkar på varje index , om du vill). Det kan tillhöra tensorprodukten av vektorrymden och dualerna för dessa vektorrymden, vilket placerar några av ”R” på andra sidan ”T”. Detaljerna följer vid all formell behandling.
En rank 1 tensor är vad vi kallar en ”vektor”.
För fysiker, tensorer och vektorer – och endast tensorer och vektorer – representerar fysiskt meningsfulla kvantiteter som måste transformeras på lämpligt sätt med koordinatsystemet, annars skulle du få annan fysik när du tittar på systemet från en annan riktning.