Bästa svaret
En spinor är bara en vektor som beter sig annorlunda under rotationer och vissa andra transformationer .
I stället för att prata i allmänhet tror jag att det blir mycket lättare att tänka på spinnare när du har ett konkret matematiskt exempel att arbeta med. Detta svar kommer att göra just det. Ingen matematisk kunskap utöver inledande linjär algebra antas.
En mer teknisk introduktion kan hittas från Steanes utmärkta introduktionsdokument om ämnet, med en mer detaljerad behandling som tillhandahålls här: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Alla illustrationer nedan är hans. Om jag får något fel är du välkommen att kommentera.
Vad Spinors är
Jag sa ovan att spinnarna var bara vektorer. Vad betyder det? Det betyder att de har alla egenskaper hos vektorer:
- de kan läggas ihop,
- multiplicerat med en konstant (även kallad skalär ),
- det finns en sak som ”noll” spinn,
- och varje spinor har en invers spinor.
Du kan gå framåt och lägg till mer komplexa krav:
- Två spinorer kan ha en väldefinierad inre produkt, precis som vektorrymden.
- En spinor kan ha en meningsfull längd, precis som andra vektorrymden.
och så vidare.
Om endast krav för en spinor som gör det skiljer sig från en vektor är att försöka rotera den inte ger dig det förväntade resultatet – att försöka rotera 360 grader ger dig inte samma spinor, men roterar med 180 grader kommer. Mer allmänt kräver rotation med en vinkel \ theta att använda rotationsmatrisen för en vinkel \ theta / 2!
Med detta i åtanke är här en enkel spinor som kan föreställas i vanligt tredimensionellt euklidiskt utrymme och som antar alla egenskaper som jag har listat ovan. Detta är den enklaste spinorn och den som är mest känd för fysiker.
Här är en matematisk beskrivning av spinorn ovan:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Säg hej till din första spinor!
Tänker på spinner: En varning
Innan jag fortsätter, märker något något: det euklidiska utrymmet, som jag nämnde, är tredimensionellt – ändå behöver jag bara två komponenter för att representera min spinor! Hur kan det vara såhär? Måste inte alla vektorer ha samma antal komponenter som dimensionen på utrymmet de upptar?
Motsättningen kan lösas i en mening: spinorer bor inte i det euklidiska rymden – de kan motsvara föremål i det euklidiska rymden, och saker som görs mot dem kan göras för att motsvara saker som görs i det euklidiska rymden, men det är inte deras hem. p> Sanningen är att spinorn inte har två komponenter som jag sa ovan (vid denna tidpunkt tränger du förmodligen på skärmen och svär under andan ). En spinor har inte samma orientering som en vektor i det vektorutrymme vi har lagt in det – du kan modellera objekt i ett vanligt vektorutrymme med det, som jag har här, men en sann spinor definieras av fler parametrar än för en vanlig vektor i ett sådant utrymme.
Enkelt uttryckt , där orienteringen av en vanlig vektor bara skulle definieras av r, \ theta, \ phi, orienteringen av en spinor definieras av r, \ theta, \ phi, \ alpha och dess tecken (antas positivt i exemplet ovan) – rätt sagt kan ett tredimensionellt vektorutrymme representeras av en fyr- dimensionell spinor (tecknet, eftersom det bara kan ta på sig två värden, kan också ses som en dimension, men skulle vara ganska onödigt).
Du kan skriva ut denna spinor antingen som en vektor med fyra komponenter , en för varje parameter, multiplicerad med ett tecken – eller så kan du använda ett trick som Jag har gjort och låtsas att spinorn har komplexa komponenter, vilket gör att vi snyggt kan skriva samma spinor med representationen ovan med två koordinater.Det är därför min spinor verkar ha två komponenter, när den verkligen har fyra parametrar och tillhörande dimension som följer med den, i ett tredimensionellt vektorutrymme: eftersom våra spinorer finns i sitt eget komplexa utrymme, inte i det tredimensionella vektorutrymmet.
Så innan jag går vidare, kom ihåg : spinorer behöver bara ha samma rumsliga dimension (dvs. parametrarna som krävs för att specificera dess orientering i rymden) men de behöver inte vara de enda parametrarna som definierar den. I det här fallet behandlar jag komponenterna i min spinor som komplexvärderade, varför jag kan skriva det så kortfattat i en tvåkomponents kolonnvektor – men spinorer kan och har fler parametrar, varför de är ganska knepiga att arbeta med.
I verkligheten rekommenderar jag starkt att komma ihåg att spinnare inte t bor bredvid oss - de är, som alla andra saker inom fysik, matematiska abstraktioner som gör livet lättare att arbeta med. Allt vi verkligen händer med tredimensionella objekt – men vi kan använda spinnare för att modellera dem och göra matematiken trevligare, det är därför vi gör det.
Till kör denna punkt hem, överväga följande diagram:
Observera hur närvaron av flaggvinkeln komplicerar frågor så enkla som rotation och vad som är ortogonalitet. Det är en extra parameter , och det gör hela skillnaden.
På grund av de problem som presenteras av denna udda dimensionalitet hos spinorn kan du inte bara använda den vanliga rotationsmatrisen för två dimensioner vi är mest bekanta med, nämligen den allestädes närvarande \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} för alla vinkel. Detta skulle vara korrekt för en tvådimensionell vektor, men även de enklaste spinorerna är inte , eftersom jag har gått långt för att påpeka, tvådimensionell. Du kan inte ens använda de vanliga tredimensionella matriserna – du kan säkert översätta effekten av rotation till dessa killar, men det är inte korrekt att direkt multiplicera en spinor med dem, eftersom de inte hör hemma i samma utrymme.
Hur man roterar snurrar
En rotation runt varje axel ges sedan av sin egen speciella rotationsmatris, definierad i a helt annat utrymme där spinorer faktiskt bor (snarare än euklidiskt utrymme). Låt oss beteckna rotationsmatriserna med vinkel \ theta i riktningarna x, y, z som R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Sedan ,
R\_ {x} = \ börjar {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ börja {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Här är det roliga: märker du hur alla dessa rotationsmatriser använder halvvinkel \ frac {\ theta} {2} för att rotera med vinkel \ theta?
Det stämmer! Detta vinkelfördubblande fenomen är kännetecknet för spinorer: du kan till och med bevisa att multiplicera en spinor med dessa halvvinklade matriser motsvarar roterande den rumsliga delen av full vinkel.
Och det ”s bokstavligen det : allt du behöver att veta om spinorer – att de är vektorer som bor i sitt eget speciella utrymme och har sina egna speciella rotationsmatriser – täckta i ett Quora-svar. Jag har naturligtvis begränsat mina uppmärksamhet till de enklaste spinorerna där ute, men det väsentliga alla funktioner presenteras. Om du vill gräva mer, kontakta Steane (länkad ovan).
Varför vi bryr oss om spinorer
Spinors spelar roll eftersom det visar sig att de kan beskriva hela spektrumet av förväntas från subatomära partiklar. I synnerhet kommer partiklarna buntade med inneboende vinkelmoment, en egenskap som vi kallar snurrning (se Brian Bis svar på Inser snurrningen av subatomära partiklar faktiskt vinkelmoment (dvs. är partikeln faktiskt * snurrande *)? för en fullständig beskrivning).Genom att modellera partiklar som spinorer snarare än vanliga vektorer kan vi framgångsrikt beskriva interaktionen vi förväntar oss av denna spin samt ge en fullständig beskrivning av partikelbeteende – faktiskt, spinors utgör grunden för Dirac-ekvationen, som ersätter Schrodinger-ekvationen för att tillhandahålla en specialrelativitetskompatibel vågekvation och i sin tur utgör grunden för kvantfältsteorin (utvidgningen av kvantmekanik för att beskriva krafter).
Svar
Spinnare är geometriska objekt som finns i att leva i verkliga vektorrymden (i motsats till komplexa eller kvaternioniska vektorrymden).
Så för att gå tillbaka är en vektor ett objekt som finns i rymden och sägs peka i en given riktning. Vad det betyder är att om du roterar axlarna ändras komponentvektorn på samma sätt.
Vektorer har den egenskapen att om du roterar dem 360 ”får du tillbaka samma objekt.
Det finns en mängd geometriska objekt som kan konstrueras från vektorer. Till exempel du kan ta två vektorer och multiplicera dem tillsammans för att få tensorer. Speciellt är tröghetsmomentet en av dem. Tensorer har den egenskapen att om du roterar dem med 360 ”/ N, får du tillbaka samma objekt och om du rotera dem 360 ”kommer du alltid tillbaka till samma objekt.
I utrymmen som har en symmetri grupp som är ortogonal (sådana som naturligt uppstår i verkliga vektorrymden) finns det andra typer av geometriska objekt som är inte består av vektorer. Ett sätt att se detta är att om du roterar dem 360 ”får du inte tillbaka samma objekt, istället får du -1 gånger det ursprungliga objektet – det pekar i ”motsatt riktning.
Det här är konstiga föremål; emellertid är dessa objekt de som naturligt beskriver spinn 1/2 objekt i fysik.
Dessa objekt finns på grund av den konstiga egenskapen att den ortogonala symmetri-gruppen är dubbelt kopplad. Det finns en rik matematisk struktur här, men dessa objekt är moraliskt kvadratroten av en vektor – det vill säga om du multiplicerar två spinorer tillsammans får du en vektor, som när du multiplicerar två vektorer tillsammans får du en andra rang tensor som just nu tröghetstensor.