Bästa svaret
Det finns 2 svar vi kan hitta här för den här frågan.
- -1/12
- Oändlighet
Klart \ sum \ limit\_ {n \ i \ mathbb {R}} n skiljer sig åt. Men varför svarar vissa människor -1/12? Eftersom båda är korrekta.
Detta är ett av de enklaste exemplen på ett begrepp som är avgörande för att förstå fysiska teorier, reglering. Siffran -1/12, till synes absurt, har en fysisk tolkning i den så kallade Casimir-energin.
Ofta när vi försöker beräkna fysiska kvantiteter i kvantteorier får vi oändligheten. Vid den punkten kan vi bara kasta bort svaret, men det skulle leda oss ingenstans. Alternativt kan vi försöka förstå det. För att göra det försöker vi extrahera ett ändligt svar från oändligheten. Denna process kallas för normalisering. Det kan finnas många sätt att systematiskt reglera en divergent serie (eller integrerad), men det viktiga är att alla dessa metoder skulle ge samma ändliga resultat. I synnerhet skulle ovanstående summa alltid ge oss -1/12. Detta i sig antyder att -1/12 inte är helt absurt.
Följande diskussion härrör huvudsakligen från avsnitt 4.1 i Birrel och Davies – Quantum Fields in Curved Space. Jag kommer att presentera kärnan i diskussionen.
Antag att vi betraktar ett masslöst skalärt fält i två dimensioner (en tidsriktning och ett utrymme). Ett masslöst skalarfält liknar väldigt mycket elektromagnetiskt fält, men mycket enklare. Låt oss också begränsa det skalära fältet på en cirkel av omkrets L. Nu har vi definierat ett kvantsystem och vi kan försöka beräkna olika kvantiteter, inklusive minsta / marktillståndsenergi för detta system. Marktillståndsenergin visar sig vara E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ summa \ gränser\_ {n \ i \ mathbb {R}} n.
Nu kan vi reglera denna integral och få E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Den viktiga punkten är att detta är exakt vad vi får om vi försökte beräkna skillnaden mellan marktillståndsenergi för detta system och ett annat liknande system där skalarfältet är begränsat till en linje av oändlig längd (som i huvudsak tar omkretsen av cirkeln ska vara oändlig). Denna normaliserade energi är uppenbarligen en fysisk kvantitet och kan i själva verket mätas i labbet.
Vi drar slutsatsen att påståendet \ sum \ limit\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 är inte ogiltigt.
Redigera:
Följande är ett sätt att reglera summan.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ till 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ till 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ till 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
Ovanstående gräns skiljer sig, som förväntat , men kan skrivas enligt följande
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Så här hämtar vi en reglerad ändlig del från den divergerande summeringen. Sättet att reglera summan är inte alls unikt, men den ändliga delen av summan är alltid -1/12.
Svar
Vad menar vi med ”är” eller ”jämlikhet”? Det är frågan som ligger bakom förvirringen om summan av alla naturliga tal.
Slutliga summor
Vi gör inte ”har inga problem med ändliga summor:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
är perfekt definierad för vilken som helst sekvens av a\_i \ i \ mathbb R. Tack vare kommutativitet och associativitet av tillägg beror det inte ens ordningen på a\_i: du kan blanda sekvensen i valfri permutation utan att påverka resultatet.
Oändlig serie
När vi kommer till oändliga sekvenser, (a\_i), vad betyder emellertid den oändliga summan ens? Vad är det det?
Det enklaste, säkraste och standard innebörd är en begränsning av begränsade summor. Det är definitionen av en oändlig summa är
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
När den här serien konvergerar helt är allt bra och dandy. Du kan:
- lita på resultatet;
- blanda ordningens ordning;
- lägga till eller subtrahera två sådana serier; och även
- byt ordning på två kapslade summeringar.
Men om serien är divergent eller bara villkorligt konvergerande värdet:
- kanske inte finns;
- kan bero på ordningen; eller
- kan kräva ”snygga metoder” för att definiera
och du kan varken manipulera termer för sekvensen eller lägg till / subtrahera två sådana sekvenser.
Så är fallet med summan av de naturliga siffrorna där
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Detta avviker tydligt från + \ infty som n \ till \ infty, så standardvärdet finns inte. Och det är så långt som de flesta borde gå.
Fancy Methods
Om du inte helt, ens intimt, förstå den exakta innebörden av allt ovanför du borde inte gå vidare till ”snygga metoder”. På samma sätt bör du behandla alla som manipulerar icke-absolut konvergerande sekvenser som om de delar med noll: resultaten är lika tillförlitliga.
Det finns en helt respektabel oändlig serie som heter Dirichlet-serien :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Om (a\_n) är avgränsade konvergerar denna serie absolut för alla s \ in \ mathbb C vars verkliga del är strikt större än en, \ Re (s)> 1. För \ Re (s) \ leq1 är vi på mindre fast mark …
Analytisk fortsättning
Eftersom f ( s) är en analytisk funktion definierad på det öppna halvplanet med \ Re (s)> 1 den har en väsentligen unik analytisk fortsättning till resten av komplexplanet. Fortsättningen när alla a\_n är en, f\_1 (s), är Riemann Zeta-funktion :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
där \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x är Gamma-funktionen , en analytisk förlängning av faktorfunktionen.
För \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
For s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb konvergerar inte
Om du nu vill göra något som heter zeta-funktionens reglering , kunde hävda
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
men notera att du lurar med vad ”jämlikhet” betyder och vad en summering ”är”.
Det är allt bra, men om du har kommit så långt har du märkt hur mycket du behöver vet att förstå vad du gör. Mycket mer än vad du vanligtvis får på en Numberphile-video …