Bästa svaret
”Summan av alla verkliga tal” definieras inte i konventionell matematik, och jag är inte säker att det kunde definieras utan att orsaka allvarliga problem.
Det första problemet är att uppsättningen av alla reella tal är en oräknelig uppsättning, dvs den kan inte sättas i en en-till-en-relation med räkningen siffror (dvs. 1, 2, 3, 4, etc.) Det finns ingen konventionell definition av summan av medlemmarna i en oräknelig uppsättning, men det finns av summan av medlemmarna i några räknbara uppsättningar.
Antag att du har en räknad uppsättning {x1, x2, x3,…. xn, …}. Du kan definiera en delsumma Sn = x1 + x2 + x3 + … + xn, dvs summan av de första n termerna. För att se till att ingenting går fel om du omordnar uppsättningen kan du definiera en positiv delsumma Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Om gränsen (som n går till oändligheten) för serien Pn existerar, finns gränsen för serien Sn också (men är inte densamma som gränsen för Pn såvida inte alla xn är icke-negativa). Det betyder att du kan säga att summan av alla siffror i vår räknbara uppsättning är gränsen för serien Sn.
Så om uppsättningen är {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, du har en snyggt konvergerande serie och summan av medlemmarna i uppsättningen är 1. Om du har alla heltal (positiva negativa annonser) har du en räknad uppsättning {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, men delsummorna konvergerar inte – de är 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Den bristen på konvergens av heltal uppstår trots att varje positivt heltal n har ett motsvarande negativt heltal, så du skulle tro att de avbryter. De avbryter dock inte vid varje alternativ delsumma, och de skulle inte avbryta om du tog uppsättningen i en annan ordning, t.ex. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2, …}.
De verkliga siffrorna är sämre, eftersom det inte finns någon definition av summan av uppsättningen, med tanke på att den är oräkneliga, och även om det fanns en, skulle det ge ett annat resultat att ändra ordningen i vilken du tog dem, även om det för varje positivt reellt tal finns ett motsvarande negativt reellt tal.
Svar
Låt oss lösa det med gruppteori.
Låt G (\ mathbb {R}, +) vara en -grupp.
Den har additiv identitet dvs. 0 och additiv invers \ forall a \ i G, är -a.
Nu lägger vi till alla element i denna grupp, vi har parar av ett nummer och det är invers som avbryter varandra.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ i G ^ +} + \ sum\_ {a \ i G ^ -} + 0, Vi kan skriva detta på grund av kommutativ och associerande egenskap hos denna specialgrupp.
Vi delade uppsättningen \ mathbb {R} i \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} och identitetselement.
Låt oss skriva ovanstående uttryck som
= X + Y + 0
Som 0 är identitet så,
ovan uttryck ger
= X + Y
Nu, \ för alla a \ i X, a ^ {- 1} \ in Y
\ innebär X = Y ^ {- 1}
\ innebär Y = -X
\ innebär X + Y = identitetselement av G = 0.
Därför är summan av alla verkliga tal noll.