Bästa svaret
Summan av de första 100 jämna siffror är samma som summan av de första 100 på varandra följande siffrorna fördubblades. Till exempel, försök först med en mindre skala. Hitta summan av de första 5 jämna siffrorna istället. Så:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 30
Börja subtrahera termer från var och en.
4 + 6 + 8 + 10 = 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5
6 + 8 + 10 = 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5
8+ 10 = 4 + 4 + 5 + 5
10 = 5 + 5
Detta gör saker betydligt lättare. Fortsätter fortfarande med summan av de fem första på varandra följande siffrorna, överväga att lägga till dem så:
1 + 5 = 6
2 + 4 = 6
3 + 3 = 6
4 + 2 = 6
5 + 1 = 6
Så du har här 5 summor av 6. Du har också dubbla summor, och om du helt enkelt ville ha summan av de fem första numren i rad, allt du behöver göra är att halvera dem. Du hamnar 5 summor på 3 efter att ha halverat dem, eller 15.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Som tidigare visats, är summan av den första n jämnt siffror är dubbla summan av de första n nummer i följd, så att inte halvera får önskat resultat.
Detta kan förenklas ännu mer. En enkel formel för att få summan av den första n på varandra följande siffror är:
n (n + 1) / 2
Så 1 + 2 + 3 + 4 + 5 med denna formel skulle vara:
5 (6) / 2 = 15
Naturligtvis för att hitta summan av den första 5 jämna siffror, det är nästan samma formel.
n(n+1)
5 × 6 = 30
För att få resultatet för din fråga kan du använda samma formel.
100 × 101 = 10100
Så summan av de första 100 jämna siffrorna är 10100.
Svar
Låt oss titta på 0 till 10
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
låt oss nu undersöka 0 till 20 och nästa i bitar med 20 siffror.
2 + 4 + 6 + 8 +10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110
22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 = 310
42 + 44 + 46 + 48 + 50 + 52 + 54 + 56 + 58 + 60 = 510
Som du kan se den totala ökningen med 200 var tid
2–20 110 kumulativ 110
22–40 310 kumulativ 420
42 – 60 510 kumulativ 930
62 – 80 710 kumulativ 1640
82 – 100910 kumulativ 2550
102 – 120 1110 kumulativ 3660
122 – 140 1310 kumulativ 4970
142 – 160 1510 kumulativ 6480
162 – 180 1710 kumulativ 8190
182 – 200 1910 kumulativ 10100
Varje nummer i kumulativ kolumn ökar
Låt n vara varje steg i 20′s
Låt oss nu undersöka de kumulativa totalerna.
n = 1 intervall övre tal = 20 Totalt = 110
n = 2 intervall övre nummer = 40 Totalt = 420
n = 3 intervall övre antal = 60 Totalt = 930
Från inspektion nx 20 är intervallets övre nummer och värdena = halva intervallet övre kvadrat + halva intervallet övre t.ex.
10 kvadrat +10 = 110
100 kvadrat +100 = 10100
Så vi når fram till
Kumulativ total = (10 xn) kvadrat + 10 xn för n = 10
n = 1 kumulativ total = 110
n = 10 kumulativt totalt = 10100
Detta kom fram utan förkunskaper om ekvationer för serietotal från de första principerna.
Slutligen är svaret de siffror som krävs i frågan 100 kvadrat +100 = 10100
Vad sägs om udda tal kommer ekvationen att fungera?
Låt oss titta på 1–9, totalt 25 – halv 9 är 4,5. Så 4,5 i kvadrat + 4,5 = 24,75 så det är 0,25 lågt.
Det visar sig att det alltid är 0,25 lågt i alla intervall.
Så för udda tal är ekvationen:
Kumulativt totalt = halva slutnumret i kvadrat + hälften av slutnumret + 0,25
Låt oss nu se varför ekvationen fungerar.
Låt oss titta igen på 0 till 10. Summan är lika med n kvadrat + n = n (1 + n) där n är mittvärdet 5 i detta fall.
Så detta är 6 x 5 = 30.Så summan = medelvärdet x det näst högsta värdet.
Så 0 till 500 har en summa av 250 x 251 = 62750 jämna siffror och 62750,25 för udda siffror
Mike