Bästa svaret
Jag tror att värdet på denna summa (som betecknas med) \; \; S \; \; är ungefär \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;
Det kan motiveras enligt följande:
\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ big (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big) \; \; \; ger området under kurvan \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; X-axeln och ordinaterna vid \; \; x \; = \; 1 \; \; och \; \; x \; = \; n + 1 \;. \; ….. …………. (1)
Den erforderliga summan \; \; S (n) \; \; kan tolkas som området för \; \; n \; \; rektangulära vertikala staplar med bredd \; \; 1 \; \; av höjd \; \; \ sqrt {j} \; \; uppförd på \; \; X – \; \; axel där \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (de vertikala sidorna av \; \; j ^ {th} \; \; rektangeln är delar av ordinaterna vid \; \; x = j \; \; och \; \; x = j + 1 \ ; \;)
För att få en bra approximation måste vi subtrahera felterm \; \; E (n) \; = \; området mellan kurvan och de rektangulära staplarna, från (1).
Observera att \; \; E (n) \; \ approx \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n} \; \ big (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ big) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)
På förenkling får vi \; \; S (n) \; \ ungefär \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;
Svar
Har frågats tidigare.
Kolla in Vad är summan av kvadratrötterna för första och naturliga talet?
Titta sedan på papperet som ges.
Tack för att du frågade och påpekade denna intressanta sak för mig men detta är omöjligt att lösa själv.