Bästa svaret
Som många redan har svarat korrekt har oändlighetens cosinus inget värde. Men det är värre. Det är så illa som det kan vara.
Komplexa funktioner
De trigonometriska funktionerna, inklusive cosinus, är vanligtvis ses som funktioner som tar verkliga tal som argument, men de kan utökas till att vara komplexa funktioner. Du kan göra detta för cosinus genom att använda denna power series-definition
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Det gör cosinus definierat på hela komplexplanet \ mathbf C.
By utöka funktioner till komplexa argument kan du förstå dem på ett sätt som du inte kan när bara riktiga argument används. Det är styrkan i komplex analys.
De utökade komplexa siffrorna \ overline {\ mathbf C}
Tänk på mycket enklare funktion f (z) = 1 / z. Den definieras för alla komplexa tal utom z = 0. Det verkar ha ett oändligt värde på z = 0, och det finns ett sätt att formalisera det konceptet. Utöka de komplexa siffrorna med ett element, betecknat \ infty för att få det som ibland kallas det slutna komplexplanet eller Riemann-sfären, \ overline {\ mathbf C}. Med det kan du definiera 1/0 = \ infty och 1 / \ infty = 0 så att denna funktion f (z) = 1 / z definieras på hela \ overline {\ mathbf C}. I själva verket ger det en bifogning \ överlinje {\ mathbf C} \ till \ överlinje {\ mathbf C}.
Vad händer när du försöker med tangentfunktionen \ tan z? Några fina saker händer. Medan för reella tal definieras \ tan \ pi / 2 inte, för \ overline {\ mathbf C} definieras det och faktiskt \ tan \ pi / 2 = \ infty. Singulariteten för \ tan z vid z = \ pi / 2 är som singulariteten för 1 / z vid z = 0.
Dessa två funktioner, 1 / z och \ tan z, har stolpar , det vill säga de tar på sig värdet \ infty. Funktionen 1 / z har en pol vid z = 0. Funktionen \ tan z har oändligt många poler, en för varje värde av z lika med \ pi / 2 plus en integrerad multipel av \ pi.
Cosine av \ infty
Det är dags att återvända till \ cos \ infty.
Tänk på funktionen f (z) = \ cos (1 / z). Att be om cosinus av \ infty är detsamma som att be om f (0), eftersom i \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. Till skillnad från polerna för funktionerna 1 / z och \ tan z som nämnts ovan, har den här funktionen vad som kallas en väsentlig singularitet. Godtyckligt nära z = 0, funktionen f (z) = \ cos (1 / z) tar alla komplexa tal oändligt många gånger. Det betyder att \ cos z har en väsentlig singularitet vid z = \ infty. Det är så illa som det kan vara.
Svar
Det är inte lika med någonting. Cos (oändlighet) är obestämd eftersom sinus-cosinus och tangent, liksom den inverser (secant, cosecant och cotangent), härrör från enhetscirkeln.
cosinus är x-axeln och sinus är y-axeln. Detta skapar en rätt triangel. Enhetscirkeln är centrerad vid ursprunget. Och den rätta triangeln som ”skapas”, längden på benen är där de härleds.
För saker som 390 grader rör sig det mer än en gång och vinkeln utvärderas som om den bara gick från 0 grader till där det slutade, vilket är mindre än 360. Detta är i grunden bara modul.
Uttrycket som kan representera detta är n mod 360 (eller för datavetenskap, n\% 360), där n är vinkeln.
Så för infinity mod 360 kan jag inte få svar eftersom oändligheten stiger ständigt. så det kan tekniskt vara vad som helst. Oändlighet är inte nummer, det är ett koncept. Konceptet att inte ha något slut. Så att använda oändligheten som ett tal är bara att ha ett värde, vilket i viss mening alltid ökar. Detta förenklar det lite, eftersom det inte riktigt stiger, det är mer som att anta att det finns ett slut när det inte finns, listan med siffror har inget slut. Dess värde är obegränsat. Det är därför vi använder gränser när det gäller oändlighet. Även om oändligheten som ett tal i grunden använder gränser kan vi inte säga 1 / oändligheten är noll eftersom oändligheten bara stiger ständigt i värde, det frågar inte vad det konvergerar till. Även om den konvergerar till noll kommer den aldrig att vara noll. Det närmaste som någonsin kommer att vara noll är 1 – 0,999 …, vilket trots att 0,999 … har sagts vara lika med 1, så är det inte. Logiskt sett är det inte och det kan det inte vara. Om vi accepterar det, kan vi lika enkelt säga att 1 = 2, och vilket som helst n är lika med något m (n = m).
Tillbaka till den ursprungliga frågan, om du tittar på en graf för cos (x) ser du att den oscillerar upp och ner kontinuerligt från 1 till -1. Så när det går till oändligheten kommer det aldrig att konvergera, och cos (oändlighet) växlar alltid mellan 1 och -1. Att välja något värde mellan dessa kommer inte att vara oändlighet, eftersom det alltid växer i värde.
Så avslutningsvis är cos (oändlighet) obestämd.