Bästa svaret
T\_n (x), den nionde Chebyshev-polynom av den första typen, uppfyller
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Vi är ute efter T\_ {10} (x). Vi känner till de första:
T\_0 (x) = 1 \ quad eftersom \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad därför att \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad eftersom \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad eftersom \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Vi kan enkelt beräkna kraften för två,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
I allmänhet T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)) som följer ganska snabbt från \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
T\_n (x) uppfyller upprepningen
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Eftersom T\_0 (x) och T\_1 (x) har heltalskoefficienter, berättar återfallet att alla T\_n (x) har heltalskoefficienter.
Låt oss härleda återfallet . Vi börjar med att bevisa en trig-identitet, en alternativ sumvinkelformel som endast använder cosinus:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Nu,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
eller att låta x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Nu kan vi beräkna T\_ {10} (x) ganska enkelt,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Så vi får äntligen vårt svar,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Svara
Låt x = theta för att göra min skrivning enklare.
Kom ihåg att multiplikation är upprepad d-tillägg.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Ett sätt att hitta cos (10x) är att tillämpa identitet för cosinus av summan av två vinklar 9 gånger, tillsammans med samma identitet för sinus.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Byt nu ut 9x mot 8x + x
och använd sedan noggrant igen identiteterna utan att förlora cos (x) och sin (x) som redan finns i problemet.
Överallt där du ser 8x ersätter du det med 7x + x och tillämpar identiteterna igen.
Fortsätt … ..
Du kanske vill arbeta dig uppåt snarare än ner.
Hitta cos (3x), sedan cos (4x) etc.
Fråga dig själv om det kan finnas ett snabbare sätt medan du arbetar.
När vi väl har en formel för
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
du kan försöka tänka
av cos (4x) som cos (2x + 2x)
och cos (8x ) som cos (4x + 4x).
Sedan cos (10x) som cos (8x) + cos (2x).
Du migh t vill också förenkla resultatet för cos (2x) och eventuellt använda en Pythagoras identitet för att hålla problemet i termer av endast cosinus utan några sines i resultatet.