Bästa svaret
Jag vet vad du ber om men lär dig skrivkonventionerna. Den ska skrivas cos (1/2).
För att svara på din fråga måste du använda en miniräknare här. Det finns inget sätt jag kan beräkna detta för hand. En annan sak är värdet i radian eller grader. Jag kommer att ge båda här. Det är 0,99996 i grader och 0,8775 i radianer.
Svar
Ganska många blir upprörda när någon påstår att 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Jag är inte en av dessa människor, men jag gör tycker att om du börjar göra ett påstående som detta, bör du ha det klart i ditt sinne vad det är som du menar.
När du definierar en oändlig summa av element a\_n definierar du det vanligtvis som:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Om gränsen finns och har ett ändligt värde, säger vi att den oändliga summan konvergerar , och vi säger att det är lika med nämnda gräns. Således, till exempel:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Det finns dock många oändliga summor som skiljer sig från , och vi tilldelar vanligtvis inte ett värde. av detta:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {existerar inte.}
Man kan också kontrollera att:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
som inte konvergerar — alltså serien 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots är divergerande, så den vanliga gränsdefinitionen tilldelar det inte ett värde.
Det finns dock sätt som du kan utvidga denna definition. Det vill säga, du kan komma på sätt att tilldela ett ändligt värde till divergerande serier som fortfarande överensstämmer med de värden som vi får på vanligt sätt för konvergerande serier.
Problemet är att eftersom dessa metoder, genom deras natur, motsvarar egentligen inte något fysiskt *, så det bästa vi kan hoppas är att sådana metoder har fina formella egenskaper. I synnerhet vill vi begära att de uppfyller följande axiom:
1.) (Regularitet) Om \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n är konvergent, överensstämmer summeringsmetoden med vanlig metod för att ta gränsen.
2.) (Linjäritet) Om \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A och \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B är summerbara , då har vi \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Om r är ett reellt tal, då \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabilitet) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Dessa axiom är ganska användbara. Du visar till exempel att någon summeringsmetod som uppfyller dessa tre axiom måste utvärdera 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, eftersom:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Observera att både linjäritet och stabilitet spelar en viktig roll i detta bevis. Stabilitet tillåter oss att ”dra ut” 1 framför och linjäritet gör att vi kan räkna ut 2.
En sådan summeringsmetod måste också utvärdera 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. Beviset är liknande:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Det kommer emellertid att finnas divergerande serier som inte kan utvärderas med någon summeringsmetod som uppfyller dessa tre axiomer. Antag till exempel att vi kan tilldela ett ändligt värde s till serien 1 + 1 + 1 + \ ldots. Då skulle vi ha:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Hoppsan. Tyvärr blir det ännu värre, för det följer av detta att ingen summeringsmetod som uppfyller dessa tre axiomer kan utvärdera 1 + 2 + 3 + \ ldots heller, eftersom:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (av stabilitet) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (efter linjäritet)
Så, om du vill definiera en summeringsmetod som utvärderar 1 + 2 + 3 + \ ldots, måste du antingen kasta ut linjäritet eller stabilitet. Det finns olika tillvägagångssätt — vissa offrar det andra, andra offrar det andra.
Detta är tyvärr ett tecken på hur summering av olika serier går: du har många olika metoder för att summera dem, och de gör inte håller alltid med. De är ofta överens om viktiga serier, men om du hävdar något som 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, skulle du bättre göra det helt klart vilken summeringsmetod du råkar använda.
Som talteoretiker är min favoritstrategi regelbunden zeta-funktion. Det grundläggande exemplet på detta är detta: överväga Riemann zeta-funktionen \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Denna formel är endast konvergerande om den verkliga delen av s är större än 1.Det finns emellertid ett vanligt sätt att utöka Riemann zeta-funktionen till att vara en funktion på hela det komplexa planet (ja, du har några poler, men även om det är viktigt är det en teknisk fråga) — detta kallas analytisk fortsättning, som du erhåller uttryckligen genom att hitta en funktionell ekvation för zeta-funktionen.
Med hjälp av analytisk fortsättning hittar du att \ zeta (-1) = -1/12. Men om du ”kopplar in det” till ditt ursprungliga uttryck för zeta-funktionen får du:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Så här fungerar zetafunktionens reglering: du associerar en zetafunktion till din serie och använd sedan analytisk fortsättning för att associera ett ändligt värde till serien.
Detta är på många sätt ett formellt spel som, även om det är intressant, troligen inte bör tänkas motsvara något påtagligt.
* Ja, jag är medveten om att olika serier och integraler används i beräkningar inom kvantfältsteorin. Men jag skulle hävda att sådana metoder är ett beräkningsverktyg mer än en fysisk tolkning av vad som faktiskt händer. Dessutom har vi för närvarande inte en matematiskt rigorös modell för kvantfältsteori, så alla udda chimärer som inte borde kan ännu tolkas om eller tas bort helt.