Bästa svaret
Frågan du ställer är inte meningsfull. Jag antar att det är cos (20 °).
Vi vet vad som är cos (60 °) och det goda är 60 ° = 3 * 20 °.
Vi vet cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Sätt θ = 20 °, i ovanstående identitet och förutsatt att t = cos (20 °) fick vi
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
Låt p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1 och p (1) = 1, det innebär att p har tre verkliga rötter varav endast en är positiv (som ligger mellan 0 och 1).
Som vi vet är cos (20 °) ett positivt tal, då är den positiva roten till ovanstående polynom värdet på cos (20 °).
Någon uppskattning med halveringsmetoden med 2–3 iteration ger dig 0,94.
Så cos (20 °) = 0,94 (ungefär)
Svar
Du borde kunna hitta det med trig-identiteten: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Jag antar att detta härrör från identiteten: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), men används två gånger. För att vara ärlig så letade jag bara upp det. )
Nu när vi vet detta, gör x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Gör sedan två byten. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} och y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3y – 4y ^ { 3}
Och sedan med lite manipulation:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Allt som återstår är att lösa för y. Att lösa kubik för hand är en smärta , men jag kommer att peka på dig här: Hur kan jag lösa en ekvation av tredje graden? Då vinkar jag lite med händerna och löser det här: Computational Knowledge Engine
Du får 3 lösningar. En negativ (inte korrekt) de andra två är ungefär .34 och .64.
Vilken är det? sin (30) = .5, och eftersom vi vet att sinusfunktionen ökar upp till 90 grader är lösningen ungefär 0,34.
Så, vad är den exakta lösningen? Enligt Wolfram Alpha:
Detta borde ge ett verkligt antal, men jag är inte på väg att förenkla den röra för dig .
Det räcker att säga att det kan göras, men det är förvånansvärt en enorm huvudvärk.