Bästa svaret
Det är frestande att skriva
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Då kan vi skriva
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Det gör summan:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Jag gillar inte det här så mycket för ett par skäl. Först ignorerar det frågan om hur många värden \ sqrt {i} har.
Vi har definierat radikalen som tillämpas på ett verkligt tal som huvudvärdet, så y = \ sqrt {x} är en funktion . Huvudvärdet för en komplex kvadratrot är mer komplex (en regel som minst icke-negativ vinkel) och fungerar inte så bra.
Min åsikt är den bästa policyn är att vi har två kvadratrötter . \ sqrt {i} är flera värden, samma som i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Det andra problemet jag har med den exponentiella formuleringen är det omedelbara hoppet till polära koordinater. Vi tar automatiskt en krökt väg som involverar transcendentala funktioner och deras inverser. Kvadratroten av ett komplext tal kräver inte det. Vi kan kontrollera
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
där vi behöver en icke-standard \ textrm {sgn} (0) = + 1.
Vi har a = 0, b = 1 alltså
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Inga triggfunktioner behövs. På samma sätt ger a = 0, b = -1
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
Summan verkar ha fyra möjliga värden:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Låt oss räkna ut värdena för parentes.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
så vi har verkligen fyra värden, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Vi kan skriva detta som
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad for integer k
Det finns en annan fråga att tänka på. Ibland när vi skriver uttryck som verkar vara konjugat menas det att när flera värden beaktas bibehålls konjugatförhållandet. Ett exempel är den deprimerade kubik:
x ^ 3 + 3px = 2q har lösningar
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Var och en av dessa kubrötter har tre värden över de komplexa siffrorna. Men kubiken i sig har bara tre lösningar. Så även om vi kan bli frestade att tolka detta uttryck som nio olika värden, vet vi att det bara är tänkt att vara tre. De två kubrötterna är tänkta att vara konjugat, så måste paras ihop som sådana.
I denna tolkning lägger vi alltid till konjugat så att vi bara får de riktiga lösningarna: {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} eller (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } som är \ pm \ sqrt {2}.
Slutligen, om vi tolkar radikalen som huvudvärde, får vi \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} i första kvadranten, och vi måste välja mellan andra och fjärde kvadranten för huvudvärdet av \ sqrt {-i}. ”Minst positiv vinkel” -regeln antyder den andra kvadranten, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} så
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Lite röra, alla dessa olika tolkningar.
Svara
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {och} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega är enhetens tredje rot: z ^ 3 = 1.
Rötterna till denna ekvation är: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Vi har: u ^ 3 = 2 + 2i och (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Så:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {med} \; k \ i {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {med} \; k \ i {0,1,2}
Så:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Vi får:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ text {eller} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {eller} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3