Bästa svaret
barnsäng θ = 1 / tan θ
barnsäng (0 °) = 1 / tan (0 °) = 1/0; odefinierad
I matematik är alla tal dividerade med noll odefinierade.
Svar
Matematiska frågor blir mycket enklare när du vet definitionen för termerna i fråga . Hur definieras \ cot (x)? När vi väl vet det borde vi kunna få svar på kort tid. Du kan bli förvånad över att lära dig att matematiker (i ett försök att ha termer så allmänna som möjligt) inte definierar denna funktion geometriskt och inte heller definierar de den i termer av andra ”trig” -funktioner. De definierar det faktiskt som Detta med en serierepresentation.
Eller, för att vara mer exakt, de definierar det med den serien för 0 x pi. För x = 0, \ pi (och andra heltalsmultipel av \ pi) är funktionen inte definierad. De utökar sedan definitionen för alla icke-heltal multiplar av \ pi genom att notera att funktionen är periodisk med period \ pi. Med andra ord, \ forall x \ ne n \ pi (för alla n \ i \ mathbb Z), säger vi att \ cot (x) = \ cot (x- \ pi). Detta gör att vi kan utvärdera funktionen för alla andra x i domänen. Så till exempel:
\ cot (1000) = \ cot (1000- \ pi) = \ cot (1000-2 \ pi) = \ ldots = \ cot (1000-318 \ pi)
Och eftersom 0 000-318 \ pi pi, kan vi använda vår serierepresentation för att utvärdera \ cot (1000-318 \ pi) och därför veta värdet av \ cot (1000).
Nu när vi förstår definitionen av funktionen lär vi oss två saker. Först vet vi att OM det finns en lösning måste det finnas oändligt många lösningar, för vilken lösning du än måste, måste det vara sant att n \ pi mer än den lösningen också är en lösning för alla n \ i \ mathbb Z. Andra , vi vet att att hitta en lösning betyder att hitta ett värde på x för vilken den oändliga serien är noll. Det verkar som en skrämmande uppgift.
Lyckligtvis kan vi faktiskt visa att denna serierepresentation innebär att för 0 pi, \ cot (x) = \ frac {\ cos (x)} { \ sin (x)}. Så när \ cot (x) = 0 måste det också vara sant att \ cos (x) = 0. Det är ingen enorm vinst eftersom cosinusfunktionen också definieras i termer av en oändlig serie, men det är en mycket lättare serie. Och det är en funktion som de flesta förstår tillräckligt bra för att veta att det enda värdet på x mellan noll och pi för vilket det är lika med noll är \ frac \ pi 2. (Att bevisa att resultatet från serien är lite arbete som jag vann kommer inte in.)
Så vi lär oss att x = \ frac \ pi 2 är en lösning, och vi har redan visat att varje heltalsmultipel av \ pi bort från denna lösning också är en lösning. Så lösningen måste vara:
\ {x | x = \ frac \ pi 2 + n \ pi \ text {för vissa} n \ i \ mathbb Z \}