Bästa svaret
På enhetscirkeln är x-koordinaten cos (x).
Ta gränsen när x närmar sig 90 grader. Vad du ser är att x-koordinaten närmar sig 0 eftersom radien närmar sig en vinkelrät linje (så ingen x-komponent)
Ta den vänstra gränsen och den är densamma.
Triangeln går naturligtvis ner.
Här är en bild för hjälp:
Som du ser blir den grå linjen (cosx) mindre och mindre.
Det är det. Cos (90) är 0. Det är 90 grader och inte radianer.
Om det är i radianer är det ungefär −0.448073616129.
Svar
Låt mig ge dig ett mer komplex svara.
Låt, \ frac {A} {2} = x.
Så, A = 2x
Vi har,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Låt oss ta formlerna till Eulers,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Om vi kommer ihåg denna formel kan vi förstå det,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), eftersom endast \ sin är en udda funktion, f (-x) = – f ( x), och \ cos är jämn, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Så slutar vi med formeln.
Också för \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Där jag är den imaginära enheten . (i ^ 2 = -1)
Nu låter vi utantill formeln för \ cos (2x), (med plugin på x med 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Låt oss börja härleda vår formel.
Börjar med \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Expanderar, vi får,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Nu, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ gånger a ^ c = a ^ {b + c},
(Så, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Nu kan vi beräkna \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Om vi subtraherar \ sin ^ 2 (\ theta) från \ cos ^ 2 (\ theta) får vi,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Vi avbryter minuserna i nämnaren \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
När vi lägger till kan vi avbryta -2 + 2 till 0, efter det får vi,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
vilket är samma formel för \ cos (2x) som vi diskuterade tidigare. Därför bevisat.
Men vi har en annan sak att göra. Plugin, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
vilket är samma formel för cos (A)
Så, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Tack för A2A