Bästa svaret
Om du inte trollar, antar jag att du vill ha det exakta värdet av \ sin 38. (Varför? Vem vet.) Jag kommer att beskriva hur man kommer fram till det exakta värdet. Vi använder två påståenden. Om vi vet det exakta värdet av \ sin x, kan vi beräkna det exakta värdet av \ sin nx för alla heltal n. Om vi känner till det exakta värdet av \ sin x, kan vi beräkna det exakta värdet av \ sin \ frac {x} {3}.
Ovanstående betyder att om vi skulle hitta \ sin 1, då kunde vi hitta \ sin N för alla heltal N.
Så vi bevisar påståendena:
Påstående 1 : Om vi vet det exakta värdet av \ sin x, kan vi hitta det exakta värdet av \ sin nx, för positivt heltal n. (De negativa värdena följer).
Bevis : Vi använder induktion på n. Uppenbarligen är påståendet sant för n = 1. Innan du fortsätter, notera att kunskap om \ sinx innebär kunskap om \ cos x. Nu är \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x och vi är klara.
Påstående 2 : Om vi vet det exakta värdet av \ sin x kan vi hitta det exakta värdet av \ sin \ frac {x} {3}.
Bevis : Den här är mer intressant. Låt \ sin \ frac {x} {3} = a för argumentet. Nu \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} eller 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0 där vi vet \ sin x. Eftersom detta är en kubik kan det lösas exakt.
Vi vet \ sin 36 och \ sin 30, så vi vet \ sin 6 och därmed \ sin 3 och slutligen \ sin 1.
Svar
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0,2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^) 2)) / 2) -0.2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2)
S0 det går.