Bästa svaret
Om vi inte vill använda de trigonometriska tabellerna kan vi få ett ungefärligt värde på \ tan 27 ^ o genom att använda Taylor-expansionen av \ tan x.
Taylor-serien för en verklig eller komplex värderad funktion f (x), som är oändligt differentierbar vid ett verkligt eller komplext tal a, ges av
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, där f ^ {(n)} (a) är värdet på n ^ {th} -derivatet vid x = a.
Observera att vinkeln måste uttryckas i radianer.
Låt f (x) = \ tan x och a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radianer.
\ Rightarrow \ qquad f ”(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3} och,
\ qquad f ”” (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Vi vill ha värdet av \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Med bara de två första termerna i Taylor-serien får vi ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f ”(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0.507537.
Felet i detta värde är -0.3902 \\%.
Använd bara de tre första termerna i Taylor-serien får vi,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f ”(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f ”” (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592.
Felet i detta värde är -0.1831 \\%.
Om vi vill ha större noggrannhet kan vi använda fler termer.