Bästa svaret
En cylinder har två delar av ytan. Cirkeln slutar och det runda röret mellan dem. Cirklarna i ändarna hittar du med den enkla formeln för en cirkels yta, som är pi * r ^ 2, där r är cirkelns radie. Sedan måste du fördubbla det, eftersom det finns två cirkeländar.
Det runda rörområdet är längden runt röret (cirkeländens omkrets) gånger rörets längd. Cirkelns omkrets är 2 * pi * r, där r åter är cirkelns radie. Längden är längden (L).
Så ytan på en cylinder skulle vara 2 * (pi * r ^ 2) + (2 * pi * r * L).
Du måste ansluta värdena för r och L i denna ekvation, då skulle du få ett resultat i termer av pi.
Svar
Hur hittar man radien och höjden, rätt till två decimaler, för en cylinder som rymmer 200 cm ^ 3, om dess yta ska vara ett minimum?
Hur man finner det korrekt med två decimaler är att arbeta med tre eller flera decimaler och avrunda i slutet.
OK, hur minimerar man faktiskt ytan? Det beror på om cylindern har lock eller inte. Om radien är r och höjden är h. Ytarean är S = 2 \ pi rh + k \ pi r ^ 2 där k = 1 eller k = 2 och volymen är V = 200 = \ pi r ^ 2h.
Det finns två sätt , antingen eliminera en av variablerna eller använd en Lagrange-multiplikator.
Första metoden. Den andra ekvationen ger \ pi rh = \ frac {V} r och att ersätta detta med den första ekvationen ger S = 2 \ frac {V} r + k \ pi r ^ 2 och differentierar med avseende på r, \ frac {dS} {dr} = – \ frac {V} {r ^ 2} + 2k \ pi r. För ett minimum måste detta vara noll och därför måste 2k \ pi r ^ 3 = V = \ pi r ^ 2h.
Du måste hitta r och h, det är inte mitt jobb. Och glöm inte att kontrollera att detta ger ett minimum.
Andra metoden. Differentiera T = S + \ lambda (\ pi r ^ 2h-V) med avseende på r och h: \ frac {\ partial T} {\ partial r} = 2 \ pi h + 2k \ lambda \ pi r + 2 \ pi rh = 0,
\ frac {\ partial T} {\ partial r} = 2 \ pi r + \ lambda \ pi r ^ 2 = 0.
Tillsammans med begränsningen V = 200 = \ pi r ^ 2h, du har tre ekvationer och tre okända.
Återigen är det upp till dig att lösa dem.
I det här fallet är den första metoden enklare eftersom tvångsekvationen är linjär i h.
I framtiden lämnar du uttryck som ”till två decimaler” i dina frågor. Det visar att du vill att någon ska lösa ditt problem åt dig istället för att hjälpa dig med begreppen så att du kan lära dig att hjälpa dig själv.