Bästa svaret
2x + y = 5, x – y = 1 har en unik lösning på x = 2, y = 1. Linjerna 2x + y = 5, x – y = 1 korsar vid en och en punkt och det är (1,2).
Om det finns två parallella linjer som x – y = 1 och x – y = 7 så finns det ingen lösning på ekvationerna x – y = 1, x – y = 7.
Om två ekvationer faktiskt är desamma som x – y = 1,5 x – 5y = 5 då är vilken punkt som helst på den linjen en lösning som x = 3, y = 2 eller x = 1000 y = 999 och det finns ingen unik lösning.
Det blir lite mer intressant i en situation där det finns 3 variabler, säg x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 har en unik lösning av x = 1, y = 1, z = 1. Planen 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 korsar vid en och en punkt och det är (1,1, 1).
Om det finns tre parallella plan såsom x + y + z = 1, x + y + z = 4 och x + y + z = 8 så finns det ingen lösning på ekvationerna x + y + z = 1, x + y + z = 4 och x + y + z = 8.
Om en ekvation är en linjär kombination av två andra finns det ingen unik lösning. Här är ett exempel 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Inte bara är (1,1,1) en lösning utan också (2,2, -2) och (3, 3, -7). Det finns faktiskt en oändlighet av lösningar.
Anledningen är att en ekvation är en linjär kombination av de andra
3x + z = 4 är 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Det finns en hel del referenser till detta men förhoppningsvis kommer detta att ge dig en uppfattning om vilka unika lösningar i linjära system är.
Svar
Mitt svar kommer först att anta att detta är ett system med linjära ekvationer jämfört med ett system med linjära ojämlikheter.
Kort svar – Alternativ som är ömsesidigt exklusiva: Ingen lösning, En unik lösning eller ett oändligt antal lösningar.
Långt svar – Vilka typer av lösningar är beror i viss utsträckning på hur många ekvationer och hur många variabler i det linjära systemet och hur du vill beskriva systemet.
Algebraically:
- Ett system utan lösningar kallas ett inkonsekvent system . Det betyder att det inte finns någon uppsättning värden för variablerna som samtidigt löser alla ekvationer i systemet. Följande system är inkonsekvent:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Ett system med exakt en lösning kallas ett konsekvent, oberoende system. Konsekvent eftersom en lösning finns och oberoende eftersom varje ekvation är oberoende av de andra ekvationerna. Detta betyder att varje värde för variablerna i lösningen är oberoende av värdena för de andra variablerna. Det finns exakt en uppsättning värden – ett värde per variabel – som samtidigt löser alla ekvationer i systemet. Följande är ett konsekvent, oberoende system (hämtat från mathisfun.com) med lösning x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Ett system med oändligt många lösningar kallas ett konsekvent, beroende system. Det är beroende eftersom minst en ekvation i systemet är en multipel av en annan ekvation eller en kombination av andra ekvationer. Det betyder att medan de andra variablerna i systemet bara har ett värde som samtidigt löser alla system, kan en eller flera variabler lösa systemet med vilket värde som helst. Följande är ett konsekvent, beroende system med lösning y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Grafiskt (3 variabla system som ett exempel):
- Ett system med två variabler kan representeras av en grupp av linjer i en tvådimensionell graf (vanligtvis xy), medan ett system med tre variabler är en samling linjer eller plan i ett tredimensionellt diagram (vanligtvis xyz).Så ett system med n många variabler representeras i en n- dimensionell graf.
- I ett konsekvent, oberoende system möts alla plan vid en punkt (dvs. två väggar och ett golvmöte i ett hörn). I det konsekventa, oberoende systemet som används ovan i det algebraiska svaret skär de tre planen alla vid punkten (5,3,2).
- I en konsekvent , beroende system , alla plan möts inte bara vid en punkt utan på en rad (dvs. tre sidor av ett bokmöte vid ryggraden). I det system som används ovan i det algebraiska svaret skär de tre planen alla vid raden -5 y + 20 z = 27 (Observera att x kan vara vilket värde som helst i lösningen).
- I en inkonsekvent system , minst två plan är parallella och möts därför aldrig. Det tredje planet kan vara parallellt med båda planen (dvs. väglinjer på en gata) eller kan korsa dem båda men aldrig på samma plats. (dvs. motsatta väggar i ett rum och tak).