Vad blir resten när 17 ^ 200 divideras med 18?


Bästa svaret

\ mathbf {\ text {Första lösningen.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ innebär 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ innebär 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Andra lösningen med Eulers teorem.}}

\ text { (17, 18) är relativt främsta. Vi kan använda Eulers sats.}

\ text {Eulers totientfunktion.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ höger) \ vänster (1 – \ dfrac {1} {3} \ höger) = 18 \ vänster (\ dfrac {1} {2} \ höger) \ vänster (\ dfrac {2} {3} \ höger) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ innebär (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ innebär 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ innebär 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ antyder 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ innebär 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ därför \, \, \ text {1 är resten när} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {delas med 18}}

Svar

Vi vill ha resten när 17 ^ {200} divideras med 18.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad Resten när 17 ^ {200} divideras med 18 är 1.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *