Bästa svaret
Varför är 2 till kraft på 25, inte ett kvadratnummer?
Låt oss först se till att vi vet vad ett kvadratnummer är. Ett kvadratnummer är produkten av ett positivt heltal multiplicerat med sig självt.
4 är ett kvadratiskt tal eftersom 4 = 2 \ gånger2. 9 är ett kvadratiskt tal eftersom 9 = 3 \ gånger3. 25 är ett fyrkantigt tal eftersom 25 = 5 \ times5.
Låt oss titta på krafterna för 2 och se vilka som är kvadratiska och vilka som inte är:
2 ^ {2 } = 2 \ times2 = 4 ==> kvadratnummer 2 ^ {3} = 2 \ times2 \ times2 = 8 ==> inte ett kvadratnummer 2 ^ {4} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 = 16 = 4 \ times4 ==> kvadratnummer 2 ^ {5} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 = 32 ==> inte ett kvadratnummer 2 ^ {6} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 = 64 = 8 \ times8 ==> kvadratnummer
Här börjar ett mönster dyka upp: När exponenten är jämn blir resultatet ett kvadratnummer. Detta beror på att vi kan dela upp det i två lika stora delar: x ^ {\ frac {y} {2}} \ gånger x ^ {\ frac {y} {2}} = x ^ {y}.
25 är ett udda tal, därför kan 2 ^ {25} inte vara ett kvadratiskt tal.
Svar
Eftersom 25 är udda och 2 inte är ett kvadratiskt tal.
Allmänt:
a ^ {2k} är ett kvadratiskt tal och dess rot är a ^ k.
Roten till a ^ {2k + 1} är en ^ k \ cdot \ sqrt {a} och alltså a måste vara kvadratiskt eller så är det hela irrationellt.
Observera att för postiva nummer har du regeln:
\ left ( a ^ b \ höger) ^ c = a ^ {bc}
Det är därför 9 ^ {25} är en fyrkant, den är densamma som 3 ^ {50} och har roten till 3 ^ { 25}.