Bästa svaret
Definitionen av spåra eftersom summan av diagonala poster i en matris är lätt att lära sig och lätt att förstå. Det har dock inte (a priori) någon fin geometrisk eller annan tolkning — det ser bara ut som ett beräkningsverktyg. Att attackera det ur detta perspektiv betyder i grunden att du har fastnat med beräkningsbevis på fakta som tr (AB) = tr (BA).
De är ”t dåliga i sig. De är lätta att förstå, och verkligen vad som ska visas när någon initialt lär sig linjär algebra. Det finns en djupare anledning till varför tr (AB) = tr (BA), men det är ganska abstrakt och kräver särskilt tensorprodukten för att förstå.
Tänk på utrymmet för linjära operatorer från en vektor utrymme V tillbaka till sig själv. Om vi väljer en viss uppsättning koordinater kommer sådana operatörer att se ut som fyrkantiga matriser. Vi ska dock sträva efter att undvika koordinater så mycket som möjligt.
Vi betecknar med V ^ * det dubbla utrymmet för V, vilket utrymmet för linjära funktioner på V — det vill säga linjära kartor \ lambda så att om vi ansluter en vektor v, \ lambda (v) är en skalär.
Om vi sedan tar tensorprodukten V ^ * \ gånger V, är den isomorf till utrymmet för linjära operatorer V \ rightarrow V. Isomorfismen fungerar så här: om w \ i V, då (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.
Vi kan också ta reda på hur kompositionen fungerar under denna isomorfism– -Kom ihåg att sammansättningen av linjära kartor är precis samma sak som att multiplicera motsvarande matriser.
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2
därav
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)
Hur fungerar nu spår kommer in? Tja, det finns en naturlig karta från V ^ * \ otimes V till skalarfältet som fungerar så här: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Det fantastiska är att om du räknar ut allt i koordinater är detta spåret.
Detta visar att spåret, långt ifrån något abstrakt beräkningsverktyg, faktiskt är en grundläggande och naturlig karta i linjär algebra . I synnerhet ger ovanstående analys automatiskt ett bevis på att tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).
Men varför är det starkare uttalandet tr (AB) = tr ( BA) sant? Låt oss beräkna dem båda.
tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ höger) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)
Å andra sidan:
tr \ left ((\ \ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ höger) = tr \ vänster (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ höger) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)
Ah , så AB motsvarar parning \ lambda\_1, \ lambda\_2 och v\_1, v\_2 på ett sätt, och BA motsvarar att para dem på det andra sättet, men när vi tar spåret, blir de parade div> igen , och vid den tiden upphör det att vara någon skillnad.
Vackert.
Svar
Beviset på \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) är en enkel beräkning:
\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =
= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).
Jag är inte säker på om detta svarar på ”varför” -delen av frågan, i betydelsen ”Ja, Jag ser att beräkningen fungerar, men varför ? ”.
Det är inte ofta möjligt att förklara ”varför” något är sant. Här kanske det är bra att observera att AB och BA faktiskt delar mycket mer än spåret: de har samma karakteristiska polynom .
En annan användbar observation är att om A eller B är icke-singular (inverterbar) så är AB och BA likadana matriser, helt enkelt för att
AB = B ^ {- 1} (BA ) B.
Liknande matriser har helt klart samma egenvärden, så i synnerhet har de samma spår. Vi kan argumentera med kontinuitet (över fält där detta är vettigt) för att dra slutsatsen att detsamma gäller även i enstaka fall.