Varför är [matematik] \ operatornamn {tr} (AB) = \ operatornamn {tr} (BA) [/ matematik] sant?


Bästa svaret

Definitionen av spåra eftersom summan av diagonala poster i en matris är lätt att lära sig och lätt att förstå. Det har dock inte (a priori) någon fin geometrisk eller annan tolkning — det ser bara ut som ett beräkningsverktyg. Att attackera det ur detta perspektiv betyder i grunden att du har fastnat med beräkningsbevis på fakta som tr (AB) = tr (BA).

De är ”t dåliga i sig. De är lätta att förstå, och verkligen vad som ska visas när någon initialt lär sig linjär algebra. Det finns en djupare anledning till varför tr (AB) = tr (BA), men det är ganska abstrakt och kräver särskilt tensorprodukten för att förstå.

Tänk på utrymmet för linjära operatorer från en vektor utrymme V tillbaka till sig själv. Om vi ​​väljer en viss uppsättning koordinater kommer sådana operatörer att se ut som fyrkantiga matriser. Vi ska dock sträva efter att undvika koordinater så mycket som möjligt.

Vi betecknar med V ^ * det dubbla utrymmet för V, vilket utrymmet för linjära funktioner på V — det vill säga linjära kartor \ lambda så att om vi ansluter en vektor v, \ lambda (v) är en skalär.

Om vi ​​sedan tar tensorprodukten V ^ * \ gånger V, är den isomorf till utrymmet för linjära operatorer V \ rightarrow V. Isomorfismen fungerar så här: om w \ i V, då (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

Vi kan också ta reda på hur kompositionen fungerar under denna isomorfism– -Kom ihåg att sammansättningen av linjära kartor är precis samma sak som att multiplicera motsvarande matriser.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

därav

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

Hur fungerar nu spår kommer in? Tja, det finns en naturlig karta från V ^ * \ otimes V till skalarfältet som fungerar så här: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Det fantastiska är att om du räknar ut allt i koordinater är detta spåret.

Detta visar att spåret, långt ifrån något abstrakt beräkningsverktyg, faktiskt är en grundläggande och naturlig karta i linjär algebra . I synnerhet ger ovanstående analys automatiskt ett bevis på att tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Men varför är det starkare uttalandet tr (AB) = tr ( BA) sant? Låt oss beräkna dem båda.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ höger) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

Å andra sidan:

tr \ left ((\ \ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ höger) = tr \ vänster (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ höger) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , så AB motsvarar parning \ lambda\_1, \ lambda\_2 och v\_1, v\_2 på ett sätt, och BA motsvarar att para dem på det andra sättet, men när vi tar spåret, blir de parade div> igen , och vid den tiden upphör det att vara någon skillnad.

Vackert.

Svar

Beviset på \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) är en enkel beräkning:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

Jag är inte säker på om detta svarar på ”varför” -delen av frågan, i betydelsen ”Ja, Jag ser att beräkningen fungerar, men varför ? ”.

Det är inte ofta möjligt att förklara ”varför” något är sant. Här kanske det är bra att observera att AB och BA faktiskt delar mycket mer än spåret: de har samma karakteristiska polynom .

En annan användbar observation är att om A eller B är icke-singular (inverterbar) så är AB och BA likadana matriser, helt enkelt för att

AB = B ^ {- 1} (BA ) B.

Liknande matriser har helt klart samma egenvärden, så i synnerhet har de samma spår. Vi kan argumentera med kontinuitet (över fält där detta är vettigt) för att dra slutsatsen att detsamma gäller även i enstaka fall.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *