Bästa svaret
På grund av definitionerna av \ sin x, \ cos x och \ tan x.
I en rätt triangel med spetsig vinkel x har vi definierat trig-förhållandena enligt följande:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {motsatt}} {\ text {hypotenuse} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {intilliggande}} {\ text {hypotenus}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {mittemot }} {\ text {intilliggande}}
Från detta får vi akronymen SOH-CAH-TOA
Hur som helst, om vi tar uttrycket för \ tan x och delar täljare och nämnare av \ text {hypotenuse} får vi:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {motsatt} / \ text {hypotenuse}} {\ text {intilliggande} / \ text {hypotenuse}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Svar
Låt oss börja med en bild (kredit: Höger triangel – från Wolfram MathWorld )
Vi fokuserar på den vänstra, men den höger två är mycket viktiga i trigonometri.
Jag kommer att använda con vention att vinkeln motsatt sida a är \ alfa och vinkel motsatt sida b är \ beta.
Återkallelse: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Låt oss nu dela sinus med cosinus:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Vi kan göra samma sak med \ beta. I allmänhet kan vi göra samma trick med vilken rätt triangel som helst, så det måste vara en inneboende egenskap hos de trigonometriska funktionerna. Vi vet vad sinus och cosinus är på grund av hur vi definierade dem, som dessa specifika förhållanden.