Bästa svaret
3n + 3n + 1 + 3n + 2 = 9n + 3 = 3 (n + 1)
3m + 1 + 3m + 2 + 3m + 3 = 9m + 6 = 3 (m + 2)
3k + 2 + 3k + 3 + 3k + 4 = 9k + 9 = 9 (k + 1)
I grund och botten får du tre siffror som är exakt:
1 av 0mod3, 1 av 1mod3 och 1 av 2mod3
( men i ingen särskild ordning)
Och 3 delar resten som genereras här
om du har n på varandra följande heltal har du alla återstående fall för n (0 till n-1) tilldelat EXAKT en gång (och därmed unikt bland varje på varandra följande heltal) och den här egenskapen är universell för alla naturliga tal n,
men 3 råkar dela 0 + 1 + 2, vilket är summan av dess återstående fall. Du ser 4 delar inte 0 + 1 + 2 + 3 = 6 men 5 delar 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 men 6 delar inte 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 … Så den här delen är helt klart inte universell över hela n.
Det här tricket råkar bara fungera för 3 (som 5) eftersom x | Σr med r som sträcker sig 1 till x-1 för x = 3 (även x = 5), gå till toppen av det här svaret för att se varför bara resterna betyder och inte hur många gånger siffrorna är delbara med 3 !
Men det kortaste beviset som inte bryr sig om “varför vi kommer dit så mycket som att vi kommer dit ”skulle vara:
x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 3 (x + 1)
Svar
Varför är summan av tre på varandra följande heltal alltid en multipel av 3? Hur bevisar du detta med algebraiska uttryck?
Låt helalen vara k \ text {,} \ text {} k + 1 \ mellanslag \ text {och} \ text {} k + 2 där k också är ett heltal.
Lägg till dem: k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3 (k + 1) \ text {.}
\ därför \ text {} denna summa är en multipel av 3 \ text {.}