Bästa svaret
Per definition finns det 360 grader i en fullständig rotation; således är 45 grader hälften av hälften av hälften av en fullständig rotation, det vill säga 1/8 av en fullständig rotation.
Ta en kvadrat och rita linjer från centrum till hörnen och till mittpunkter på varje sida. Detta sätter åtta lika vinklar runt mitten; sålunda är dessa vinklar alla 45 grader.
Vi kan också se att vi får rätt trianglar för var och en av dessa, där i båda fallen båda benen på dessa högra trianglar är lika (hälften så stora som en sida av torget). Således är tangenten (i betydelsen motsatt ben / intilliggande ben) på 45 grader 1.
Svar
“ Vad är solbränna (45)? ”
Om x är ett nollfritt rationellt tal då tan x är irrationellt (bevisat av Lambert, 1761). Jag vet inte om något bevis har utvecklats än tan x måste vara transcendentalt, även om det har funnits ett sådant bevis för sinus och cosinus.)
Nu är 45 ett icke-noll rationellt tal, så tan 45 måste vara irrationell.
Den enklaste formen av exakt uttryck för detta värde är tan 45. Du kan inte uttrycka det enklare och få uttrycket att representera exakt tan 45.
Om du är intresserad av en numerisk approximation för att få en bra känsla av storleken och tecknet på numret, vi har: solbränna 45 = 1.619 775 190 543 861 549 982 796 517….
För dem som felaktigt hävdar i sina svar än solbränna 45 = 1 har du brutit mot den teorem som jag hänvisade till först. Du har brutit mot satsen genom att göra ett sådant uttalande, och eftersom satser kräver bevis för att de är korrekta, innebär varje kränkning av en sats att något har gjorts felaktigt. I det här fallet antar felet att tan 45 betyder tan 45 °. Om du vill ha tangenten (av sinus, cosinus, cotangens, secant eller cosecant av en vinkel som är ett visst antal grader och du vill använda det talet, då är det obligatoriskt att du använder ° -symbolen eller multiplicerar det numret med π / 180. Argumentet för tangentfunktionen behöver inte ha något att göra med vinklar – det kan vara vilket som helst verkligt tal (förutom där singulariteter genereras så som π / 2) med godtycklig betydelse. Nu motsvarar vinklar i själva verket verkliga tal – detta är inte sant för längder, tidslängder etc., men vinklar har denna speciella egenskap. Vinklar är faktiskt måttlösa, vilket betyder att de kan uttrycks som helt enkelt siffror. Nu finns olika enhetsnamn för vinklar eftersom det ofta är enkelt att referera till olika storlekar av vinklar. Varje vinkelenhetsnamn (halvcirkel, radian, grad, bågminut, bågsekund etc.) motsvarar ett numeriskt värde. Det visar sig att om du har en cirkel med radie 3 m och en båge av den cirkeln med längden 6 m, den vinklade vikten är (6 m) / (3 m) = 2 (noterar att mätarna i täljaren och nämnaren avbryter varandra för att ge bara ett tal ), men 2 av vad. Definitionen av en radian är den vinkel så att båglängden och cirkelradien är lika, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Således är rad = 1/1 = 1. Eftersom rad = 1 är vi kan skriva 2 rad = 2 × 1 = 2, så den uttryckliga skrivningen av rad för att uttrycka värdet på en vinkel är valfri. Ibland är det mycket användbart att undvika tvetydighet (som att skilja en vinkelfrekvens på 1 rad / s kontra en cyklisk frekvens på 1 [cykel] / s = 1 Hz), och vi kommer att insistera på att inkludera rad för tydlig kommunikation trots att den är nominellt valfritt; i andra fall är det ingen tvetydighet och det är helt bra att lämna rad.
Nu, 180 ° = π rad, två olika uttryck som hänvisar till vinkeln på en halvcirkelbåge. Om vi delar genom sidorna av ekvationen med 180 ser vi: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, eftersom rad = 1. Med andra ord är graden också bara ett tal, men dess värde är inte 1; Därför kan vi inte giltigt skriva 45 ° = 45 och bara släppa ° -symbolen. Eftersom ° representerar talet π / 180, betyder det 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, vilket betyder att när du tillämpar betydelsen av °, slutar du med ett annat nummer – ett tal som motsvarar talet av radianer, så du konverterar implicit från grader till radianer. Om du bara skriver 45 är det lika med 45 × 1 = 45 rad och kan inte betyda 45 °. Om du inte förstår vinklar och deras numeriska värden på det här sättet skulle vi inte kunna göra saker som derivat av synd x med avseende på x är cos x ; uttrycket skulle behöva vara ganska stökigare – oönskat stökigare. För många motsägelser och andra konstiga saker händer om du försöker agera som att vinkelenhetsgraden har numeriskt värde 1 så att du fritt kan inkludera det eller undvika det.
Tyvärr är de vanligaste geometroböckerna i gymnasieskolorna alla lata och lär eleverna att vara olämpliga lata – de bryr sig inte om att skriva måttenheterna när de är examen. Detta fel korrigeras vanligtvis i mer avancerade algebra- eller trigonometri-läroböcker, där ° alltid skrivs när grader är avsedda, och när enheter är avstängda är radianer alltid avsedda, vilket motsvarar standardpraxis av professionella matematiker och fysiker. Jag vet inte varför geometroböckerna insisterar på att ta en oacceptabel genväg i strid med vanlig professionell praxis, eftersom lärarna och eleverna blir frustrerade i senare kurser när de måste undervisa respektive lära sig att ° -symbolen är nödvändig.