Bästa svaret
Enkelt uttryckt är Invariant en egenskap som inte förändras även efter någon transformation eller någon matematisk operation. Ett mycket bra exempel ges i Wikipedia-
Ta fallet med Newtons gravitationella lag. Tyngdkraften mellan två kroppar kommer att vara densamma var som helst i universum. Tyngdkraften mellan dessa två kroppar kommer att vara densamma idag som för tusen år sedan. Oavsett vilken riktning du flyttar dessa kroppar till är kraften densamma. Detta är ett exempel på invariant.
Stressinvarianter är egenskaperna hos en stressmatris som inte påverkas av transformation. Stresstillstånd kan representeras i termer av en matris. Hydrostatisk spänningskomponent i denna matris skulle vara lika med medelvärdet av de diagonala termerna för matrisen (Principal stresses). Sammanfattningen av dessa diagonala termer är vad som kallas Första Invariant (även kallat Matrixens spår).
Så, vi kan dela upp ett matrisläge som en summering av det hydrostatiska och det avvikande betonar-
För att bestämma Eigen-värdena och Eigen-vektorerna använder vi ekvationen | A – Lamda I | * V = 0. På samma sätt, för ett stresstillstånd, använder vi följande ekvation som liknar ovanstående form-
nj = Eigenvektor, Sigma = egenvärde, delta ij = Identitetsmatrisen kallas också Kroneckerdelta. Denna identitetsmatris = 1 vid positionen för diagonalerna där i = j och är lika med 0 på alla andra platser.
Nu kan vi skapa följande form
Om du minns rätt är detta den avvikande komponenten i stressmatrisen. Från den karakteristiska ekvationen nedan kan vi se att Invarianterna är koefficienterna för stresstermerna i den karakteristiska ekvationen.
Var, I1, I2 och I3 är invarianterna i stressmatrisen.
a. I1 är spåren av matrisen och är summeringen av de diagonala termerna. Första Invariant.
b. I2 är summeringen av minderåriga i matrisen. Andra invariant.
c. I3 = Värde för matrisens determinant. Tredje Invarianten.
T Dessa är alla invarianter för trots att transformationen utförs på matrisen kommer dessa värden att vara desamma.
I stegen ovan etablerade vi den avvikande matrisen och vi räknade ut att det är J1 och denna J1 visade sig vara lika med 0. När J1 = 0, då är summan av diagonala termer = 0. Så genomsnittet av detta (även kallad hydrostatisk spänning = 0. Så, den hydrostatiska spänningen hos den avvikande komponenten är lika med 0 vilket betyder att det är ett tillstånd av PURE SHEAR.
Avvikande stress och invarianter
Svar
Stress representeras vanligtvis som en andra ordens symmetriska tensor, som kan betraktas som en 3 * 3-matris. Nu har vilken som helst tensor något som kallas invarianterna som inte förändras med en grundförändring. Det finns tre principiella invarianter för en sekund eller ordningens tensor (stress, belastning, tröghetsmoment faller under detta). Dessa förblir desamma även om b asis ändras. För att förstå vad vi menar med en grundförändring, tänk på en elementär styrka av materiella problem, där vi försöker hitta de resulterande normala och skjuvspänningarna i ett plan som lutar till en viss uppsättning koordinataxlar (vår bas). Vi kan göra alla Mohrs cirkel grejer och hitta spänningskomponenterna längs den nya basen (nya koordinataxlar som är längs och vinkelräta mot lutningen). Så om du tänker på spänningssensorn tidigare och nu har den förändrats element för element (båda är symmetriska men) men följande kvantiteter förblir desamma
- Spår av matriser
- Spår av matriserens kofaktor
- Bestämmande av matriserna.
Dessa är tre huvudsakliga ”invarianter”.