Bästa svaret
Antag att det finns en cirkel med fem ekvivalenta punkter A, B, C, D och E på dess omkrets så att bågen ABCDEA fullbordar cirkeln.
Så det finns fem lika bågar (AB, BC, CD, DE och EA), var och en som täcker en vinkel {(360⁰) / 5) = 72⁰ i mitten.
Nu är ”stjärnvinkeln” vid toppunkt A inget annat än den vinkel som dämpas av båg-CD vid punkt A; vilket är {(72⁰) / 2} = 36⁰.
Så, summan av fem ”stjärnvinklar” vid fem hörn = 5 * (36⁰) = 180⁰.
Svar
Detta problem beror på hur du definierar en ”stjärna”. Men hur som helst, låt oss börja med enkla fall, då ska den allmänna formeln visa sig.
Om det finns 3 punkter kan vi bara ha en liksidig triangel, så vinkeln är 60 grader. (Jag inkluderar detta som stjärna också, definiera min stjärna senare).
Om det finns fyra punkter kan vi bara ha en kvadrat, så vinkeln är 90 grader.
Om det finns 5 punkter , vi kan ha en femkant, där vinkeln är 108 grader; eller vi kan ha en ”stjärna” i frågan, där vinkeln är 36 grader.
I allmänhet för n-punkter kan vi dela en cirkel i n lika bågsektioner. För 3 och 4-punktsfall är det enda sättet du kan rita en ”perfekt-symmetrisk stängd slinga” (stjärndefinitionen) genom att ansluta punkter till deras intilliggande punkter, i så fall låt oss säga deras steg (antalet korsande bågsektioner i en linjesektion) k är 1. Två kontinuerliga linjer kommer att bilda en vinkel, så formeln för denna typ av ”stjärna” (liksidig triangel, kvadrat, femkant, hexagon, etc) är 180 * (n-2 * 1) / n grader.
I 3, 4 poäng ca se, det finns ingen annan lösning än steg 1. I 5-punktsfall, förutom steget 1, kommer ett steg på 2 att bilda 36-gradersstjärnan. Så när steget k är relativt prime till punkterna n, kan vi ha vinkelformeln
180 * (n-2 * k) / n grader.
Så i 6 punkter , den enda lösningen är k = 1, så vinkeln är 120 grader.
I 7-punktsfall kan k vara 1, 2 eller 3, när k = 1 är vinkeln 900/7 grader; när k = 2 är vinkeln 540/7 grader; när k = 3 är vinkeln 180/7 grader.
I 8-punktsfall kan k vara 1 eller 3, när k = 1 är vinkeln 135 grader; när k = 3 är vinkeln 45 grader.