Meilleure réponse
Il ny a pas de moyen absolu dattribuer des pentes aux cercles sur une sphère. Dans le lien donné par le demandeur, un mapping appelé paramétrage stéréographique est utilisé: le paramétrage stéréographique mappe un plan sur une sphère, essentiellement en identifiant le plan comme homéomorphe à une sphère avec un seul point supprimé (lors de lutilisation de projections et paramétrisations stéréographiques, cest souvent appelé « point à linfini » ou point de projection).
Une propriété fondamentale de ce mapping est quil est conforme: préserve les angles dintersection des courbes lisses. En particulier, il mappe des lignes droites sur le plan sur des arcs géodésiques sur la sphère.
Maintenant, pour mesurer la pente dune ligne dans le plan, nous devons choisir une ligne orientée contre laquelle mesurer. Ceci est traditionnellement choisi pour être «laxe des x» orienté vers la droite, car nous travaillons souvent avec des graphiques tracés par rapport à un axe horizontal indépendant (et je suppose que lorientation vient de la direction de gauche à droite de la lecture de la plupart des langues occidentales). Laxe que nous choisissons détermine la façon dont les pentes seront mesurées.
Ainsi, une fois que nous avons choisi un axe, nous pouvons le mapper à un grand cercle sur la sphère, puis nous pouvons décrire la pente dun cercle en le projetant stéréographiquement dans le plan et en mesurant comme dhabitude. Je dois souligner, cependant, que ce nest pas une fonction générale de manger des géodésiques et de cracher des nombres! Cest une fonction qui mange deux géodésiques ET un point (nous savons donc où se trouve lorigine, ou en double, où se trouve le «point à linfini»), et crache un nombre donnant la pente relative par rapport à un «cadre de référence».
Modifier. Quelque chose me dérange avec cette réponse depuis que je lai écrite hier, et un point important a cliqué ce matin: de nombreux cercles sur la sphère sont mappés en cercles sur le plan et vice versa, car les cartes conformes peuvent échanger des lignes et des cercles (notez que les deux courbes ont une courbure constante). Ainsi, la pente dun cercle mesurée par rapport à un autre cercle (orienté!), Avec un point de base choisi, naura pas de sens dans la façon dont je décris à moins quils ne soient tous les deux mappés sur des lignes sur le plan. Ceci est vrai précisément lorsque les deux grands cercles coupent le point à linfini , et nous devons donc également exiger que le point que nous choisissons pour la projection soit également un point dintersection du cercles. Si vous regardez leurs différentiels en ce point sur la sphère, vous pouvez en déduire leur pente relative. Si une formule astucieuse me frappe, je vais mettre à jour. Je mexcuse davoir été négligé et davoir manqué ça!