Bästa svaret
Det finns inget absolut sätt att tilldela lutningar till cirklar på en sfär. I länken som ges av askaren används en kartläggning som kallas stereografisk parameterisering: stereografisk parameterisering kartlägger ett plan på en sfär, i huvudsak genom att identifiera planet som homeomorft till en sfär med en enda punkt borttagen (när stereografiska projektioner och parametrar används är detta kallas ofta ”punkt vid oändligheten” eller projektionspunkten.
En grundläggande egenskap för denna kartläggning är att den är konform: den bevarar de vinklar vid vilka släta kurvor skär varandra. I synnerhet kartlägger den raka linjer på planet till geodesiska bågar på sfären.
Nu, för att mäta lutningen på en linje i planet, måste vi välja en orienterad linje mot vilken vi ska mäta. Detta väljs traditionellt för att vara “x-axeln” orienterad åt höger, eftersom vi ofta arbetar med grafer ritade mot en horisontell oberoende axel (och jag antar att orienteringen kommer från vänster till höger riktning för att läsa de flesta västerländska språk). Axeln vi väljer bestämmer hur lutningar kommer att mätas.
Så när vi väl har valt axel kan vi mappa detta till en stor cirkel på sfären och sedan kan vi beskriva lutningen på en cirkel genom att stereografiskt projicera den tillbaka till planet och mäta som normalt. Jag måste dock betona att detta inte är en allmän funktion att äta geodesik och spotta ut siffror! Det är en funktion som äter två geodesics OCH en punkt (så vi vet var ursprunget är, eller dualt, där ”punkten vid oändligheten” är) och spottar ut ett tal som ger den relativa lutningen med avseende på en ”referensram.”
Redigera. Något har stört mig med det här svaret sedan jag skrev det igår, och en viktig punkt klickade i morse: många cirklar på sfären är mappade till cirklar på planet och vice versa, eftersom konforma kartor kan utbyta linjer och cirklar (notera att båda kurvorna har konstant krökning). Så, lutningen på en cirkel mätt mot en annan (orienterad!) Cirkel, med en vald baspunkt, kommer inte att vara meningsfullt på det sätt som jag beskriver om de inte båda är mappade till linjer i planet. Detta gäller just när båda stora cirklar skär punkten vid oändligheten , och därför måste vi också kräva att den punkt vi väljer för projektion också är en skärningspunkt för cirklar. Om du tittar på deras skillnader vid den punkten på sfären kan du härleda deras relativa lutning. Om en snygg formel träffar mig uppdaterar jag. Jag ber om ursäkt för att jag är slarvig och saknar detta!