Mejor respuesta
¿Qué es 1 dividido por infinito?
Como siempre con «infinito», debe aplicar la Regla del infinito de Bustany:
El infinito y la intuición no mezcla
Así que descarta tu intuición y pregunta:
¿Qué infinito?
Hay muchos infinitos bien definidos, incluidos los que están en:
- La Línea Proyectiva Real donde \ frac1 {\ infty} = 0;
- La Línea real extendida donde \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- Los números ordinales donde división a la izquierda está más o menos definido, pero la división a la derecha no funciona, por lo que \ frac1 {\ omega} no está definido; y
- Los números surrealistas donde existe un inverso multiplicativo infinitesimal para cada surrealista transfinito, entonces \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, pero tenga en cuenta que \ epsilon para todo 0 \ in \ mathbb R.
Por lo tanto, no hay una respuesta específica a «¿qué es uno dividido por infinito» hasta que especifique a qué infinito se refiere.
Por cierto, la afirmación hecha por otros de que » el infinito no es un número ”es simplemente incorrecto. No hay números transfinitos en los conjuntos tradicionales de números como \ mathbb {N, Z, Q, R, C} pero los números transfinitos son comunes en clases de números como Ordinales, Cardinals o Surreals. Quizás sorprendentemente, no existe una definición única de «número» en Matemáticas.
Respuesta
Antes de continuar con la respuesta a la pregunta, me gustaría decir que la mayoría de los libros sobre límites ponga las formas indeterminadas en una forma « incorrecta » (al menos los libros elementales sobre límites). Lo digo porque hay algo oculto en esas formas.
Las siete formas indeterminadas sobre las que probablemente haya leído son: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Lo oculto : cuando escribes \ frac {0} {0} en realidad significa \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, donde \ rightarrow 0 significa tendiendo o acercándose a cero . También me gustaría señalar que \ rightarrow \ infty e \ infty son equivalentes (pero \ rightarrow 0 y 0 no son equivalentes en notación).
Lo que todo esto significa es que si tienes que evaluar \ frac {f (x)} {g (x)}, donde f (x) = g (x) = 0, entonces tu respuesta sería simplemente « la división no es definido «(esto es diferente de ser indeterminado). Sin embargo, si tienes que evaluar \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, donde \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, entonces esa sería una forma indeterminada, en cuyo caso se procede a evaluar los límites. Me gustaría agregar que ser indeterminado es diferente a la existencia de límites. Otra cosa es que cuando el límite es \ infty, también significa que el límite no existe. Un error común que encontré que cometen los maestros (de donde hice mis estudios) es que aceptan tanto: \ infty como indeterminado, como respuesta a una pregunta como \ frac {5} {0} (incluso cuando el contexto no es límite). La respuesta correcta (y la única respuesta) es « la división por cero no está definida «.
Entonces, la respuesta a su pregunta depende de cómo perciba la notación. La pregunta aquí no es sobre cuál es la correcta (para eso probablemente tendrás que estudiar la historia de la evolución de los límites, y es posible que aún no encuentres una respuesta o tal vez encuentres que ambas percepciones existen en diferentes «comunidades») . Con mi percepción, diría que el formulario en el OP no es indeterminado y se evalúa como 1 (leo la notación como \ left (\ text {exactamente} 1 \ right) ^ \ infty en lugar de \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Hago hincapié en la importancia de comprender esta sutileza porque muchos de nosotros realmente procederemos (apuesto) a evaluar (según algún estándar / método convencional) las preguntas del tipo: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (solo el límite de la derecha) cuando la respuesta debe ser clara a la vista ( los corchetes «no reconocidos» representan la función de suelo).