Legjobb válasz
Mi az, amit elosztunk a végtelennel?
Mint mindig a „végtelen” esetében, a Bustany “s Végtelenség szabálya -ot kell alkalmaznia:
A végtelen és az intuíció nem keverék
Tehát rázza meg intuícióját, és kérdezze meg:
Melyik végtelen?
Bármennyi jól definiált végtelenség létezik, beleértve a következőket is:
- A Valódi vetítővonal ahol \ frac1 {\ infty} = 0;
- A Bővített valós vonal , ahol \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- A sorszámok, ahol bal felosztás a meghatározott típusú, de a jobb felosztás nem működik, ezért a \ frac1 {\ omega} nincs meghatározva; és
- a szürreális számok ahol minden végtelen szürreális végtelen kicsi multiplikatív inverz létezik, tehát \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, de vegye figyelembe, hogy \ epsilon minden 0
Ezért nincs konkrét válasz arra, hogy „mi az, amit elosztunk a végtelenséggel”, amíg meg nem adod, hogy melyik végtelenre gondolsz.
Egyébként a mások állítása, miszerint „ a végtelen nem szám ”egyszerűen helytelen. A hagyományos számkészletekben, mint például a \ mathbb {N, Z, Q, R, C}, nincsenek transzfinit számok, de a transzfinit számok mindennaposak az olyan számosztályokban, mint a rendes, a bíboros vagy a Surreals. Meglepő módon talán a matematikában nincs egyetlen meghatározása a számnak.
Válasz
Mielőtt tovább folytatnám a kérdés megválaszolását, azt szeretném mondani, hogy a legtöbb könyv a korlátokon helyezze a határozatlan formákat “ helytelen ” módon (legalább a korlátokról szóló elemi könyveket). Azért mondom, mert valami el van rejtve ezekben az űrlapokban.
A hét határozatlan forma, amelyekről valószínűleg olvasott: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. A rejtett dolog : \ frac {0} {0} írásakor ez valójában \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, ahol \ rightarrow A 0 azt jelenti, hogy hajlik vagy megközelíti a nullát . Arra is szeretnék rámutatni, hogy a \ rightarrow \ infty és \ infty egyenértékűek (de a \ rightarrow 0 és 0 nem egyenértékű jelölés szerint).
Mindez azt jelenti, hogy ha értékelnie kell \ frac {f (x)} {g (x)}, ahol f (x) = g (x) = 0, akkor a válaszod egyszerűen “ osztás nem meghatározott “(ez különbözik attól, hogy határozatlan). Ha azonban ki kell értékelnie \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, ahol \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, akkor ez határozatlan forma lenne, ebben az esetben folytatja a határértékek értékelését. Szeretném hozzátenni, hogy határozatlan lét különbözik a korlátok létezésétől. Egy másik dolog az, hogy amikor a határ \ infty, ez azt is jelenti, hogy a limit nem létezik. Gyakori hiba, amelyet azt találtam, hogy mely tanárok (ahonnan iskoláztam) azt követik el, hogy elfogadják: \ infty és határozatlanok , válaszként egy olyan kérdésre, mint frac {5} {0} (akkor is, ha a kontextus nincs korlátozva). A helyes válasz (és az egyetlen válasz): “ a nullával való osztás nincs meghatározva “.
Tehát a kérdésedre adott válasz attól függ, hogyan érzékeli a jelölést. A kérdés itt nem arról szól, hogy melyik a helyes (ehhez valószínűleg tanulmányoznod kell a határok evolúciójának történetét, és előfordulhat, hogy még mindig nem találsz választ, vagy azt tapasztalhatod, hogy mindkét felfogás különböző “közösségekben” létezik) . Felfogásommal azt mondanám, hogy az OP-ban szereplő forma nem meghatározatlan, és 1 értéket vesz fel (a jelölést \ left (\ text {pontosan} értékként olvastam) 1 \ jobb) ^ \ infty, szemben a \ bal (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Hangsúlyozom ennek a finomságnak a megértését, mert sokan folytatjuk (fogadok), hogy értékeljük (valamilyen szabvány szerint) / konvencionális módszer) a következő típusú kérdések: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (csak a jobb oldali határ), amikor a válasznak egyértelműnek kell lennie a szeme láttára ( a “fel nem ismert” zárójelek a padló funkciót jelentik.)