Meilleure réponse
Quest-ce que 1 divisé par linfini?
Comme toujours avec « infini », vous devez appliquer la Règle de linfini de Bustany « :
Linfini et lintuition ne le font pas mix
Alors jetez votre intuition et demandez:
Quel infini?
Il y a nimporte quel nombre dinfinis bien définis, y compris ceux dans:
- La Ligne projective réelle où \ frac1 {\ infty} = 0;
- La Ligne réelle étendue où \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- Les nombres ordinaux où division à gauche est en quelque sorte défini mais la division à droite ne fonctionne pas, donc \ frac1 {\ omega} nest pas défini; et
- Les Nombres surréalistes où un inverse multiplicatif infinitésimal existe pour chaque Surreal transfini, donc \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, mais notez que \ epsilon pour tout 0 \ in \ mathbb R.
Par conséquent, il ny a pas de réponse spécifique à «quest-ce quun divisé par linfini» tant que vous ne spécifiez pas de quel infini vous voulez dire.
En passant, laffirmation faite par dautres que » linfini nest pas un nombre »est tout simplement incorrect. Il ny a pas de nombres transfinis dans les ensembles traditionnels de nombres comme \ mathbb {N, Z, Q, R, C} mais les nombres transfinis sont courants dans les classes de nombres comme les ordinaux, les cardinaux ou les surréelles. De manière assez surprenante, peut-être, il n’existe pas de définition unique du «nombre» en mathématiques.
Réponse
Avant de répondre à la question, je voudrais dire que la plupart des livres sur les limites mettre les formes indéterminées de manière « faux » (au moins les livres élémentaires sur les limites). Je le dis parce quil y a quelque chose de caché dans ces formulaires.
Les sept formes indéterminées que vous avez probablement lues sont: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. La chose cachée : lorsque vous écrivez \ frac {0} {0}, cela signifie en fait \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, où \ rightarrow 0 signifie que tend vers ou sapproche de zéro . Je voudrais également souligner que \ rightarrow \ infty et \ infty sont équivalents (mais \ rightarrow 0 et 0 ne sont pas équivalents en notation).
Tout cela signifie que si vous devez évaluer \ frac {f (x)} {g (x)}, où f (x) = g (x) = 0, alors votre réponse serait simplement « la division nest pas défini « (ceci est différent dêtre indéterminé). Cependant, si vous devez évaluer \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, où \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, alors ce serait une forme indéterminée, auquel cas vous procédez à lévaluation des limites. Je voudrais ajouter quêtre indéterminé est différent de lexistence de limites. Une autre chose est que lorsque la limite est \ infty, cela signifie également que la limite nexiste pas. Une erreur courante que jai trouvée par les enseignants (doù jai étudié) fait est quils acceptent à la fois: \ infty et indéterminés, comme réponse à une question comme \ frac {5} {0} (même lorsque le contexte nest pas limité). La bonne réponse (et la seule réponse) est « la division par zéro nest pas définie « .
Ainsi, la réponse à votre question dépend de la façon dont vous percevez la notation. La question ici nest pas de savoir lequel est correct (pour cela vous devrez probablement étudier lhistoire de lévolution des limites, et vous ne trouverez peut-être toujours pas de réponse ou vous constaterez peut-être que la perception existe dans différentes « communautés ») . Avec ma perception, je dirais que la forme dans l’OP n’est pas indéterminée et s’évalue à 1 (je lis la notation comme \ left (\ text {exactement} 1 \ right) ^ \ infty par opposition à \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty) .Jinsiste sur limportance de comprendre cette subtilité car nous sommes nombreux à procéder (je parie) à évaluer (selon une norme / méthode conventionnelle) les questions du type: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (seulement la limite de droite) quand la réponse doit être claire à vue ( les parenthèses « non reconnues » représentent la fonction de sol).