Nejlepší odpověď
Co je 1 děleno nekonečnem?
Jako vždy u „nekonečna“ byste měli použít Bustanyho Pravidlo nekonečna :
Nekonečno a intuice ne mix
Takže upusťte svoji intuici a zeptejte se:
Které nekonečno?
Existuje mnoho dobře definovaných nekonečností, včetně těch v:
- Skutečná projektivní linie , kde \ frac1 {\ infty} = 0;
- Rozšířená skutečná čára , kde \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- Řadová čísla, kde levé dělení je definováno podle druhu, ale správné dělení nefunguje, takže \ frac1 {\ omega} není definováno; a
- neskutečná čísla kde existuje nekonečně multiplikativní inverze pro každý transfinitní surreal, takže \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, ale nezapomeňte, že \ epsilon pro všech 0 \ v \ mathbb R.
Proto neexistuje žádná konkrétní odpověď na otázku „co se dělí nekonečnem“, dokud neurčíte, které nekonečno máte na mysli.
Mimochodem, tvrzení ostatních, že „ nekonečno není číslo “je prostě nesprávné. V tradičních množinách čísel jako \ mathbb {N, Z, Q, R, C} nejsou žádná transfinitní čísla, ale transfinitní čísla jsou běžná v třídách čísel, jako jsou ordináli, kardinálové nebo surrealy. Spíše překvapivě možná v matematice neexistuje jednotná definice „čísla“.
Odpověď
Než budu pokračovat v odpovědi na otázku, chtěl bych říci, že většina knih o limitech vložte neurčité formy způsobem „ špatně “ (alespoň základní knihy o limitech). Říkám to proto, že v těchto formách je něco skrytého.
Sedm neurčitých forem, o kterých jste pravděpodobně četli, jsou: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Skrytá věc : Když napíšete \ frac {0} {0}, ve skutečnosti to znamená \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, kde \ rightarrow 0 znamená směřující k nule . Rád bych také poukázal na to, že \ rightarrow \ infty a \ infty jsou ekvivalentní (ale \ rightarrow 0 a 0 nejsou ekvivalentní notace).
Co to znamená je, že pokud musíte vyhodnotit \ frac {f (x)} {g (x)}, kde f (x) = g (x) = 0, pak by vaše odpověď byla jednoduše „ divize není definováno „(liší se od neurčitosti). Pokud však musíte vyhodnotit \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, kde \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, pak by to byla neurčitá forma, v takovém případě přistoupíte k vyhodnocení limitů. Chtěl bych dodat, že být neurčitý se liší od existence limitů. Další věc je, že když je limit \ infty, znamená to také, že limit neexistuje. Častou chybou, kterou jsem zjistil, které učitelé (odkud jsem se učil), je, že přijímají jak: \ infty, tak neurčité, jako odpověď na otázku typu \ frac {5} {0} (i když kontext není omezený). Správná odpověď (a jediná odpověď) je „ dělení nulou není definováno „.
Odpověď na vaši otázku tedy závisí na tom, jak vnímáte notaci. Otázka zde není o tom, která z nich je správná (k tomu budete pravděpodobně muset studovat historii vývoje limitů a možná stále nenajdete odpověď nebo zjistíte, že obě vnímání existují v různých „komunitách“) . S mým vnímáním bych řekl, že forma v OP není neurčitá a hodnotí se 1 (notu jsem četl jako \ left (\ text {přesně}) 1 \ right) ^ \ infty na rozdíl od \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Zdůrazňuji důležitost porozumění této jemnosti, protože mnozí z nás budou ve skutečnosti přistupovat (vsadím se) k hodnocení (podle nějakého standardu) / konvenční metoda) otázky typu: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (pouze limit pro pravou ruku), pokud by odpověď měla být na první pohled jasná ( „nerozpoznané“ závorky znamenají funkci podlahy).