Najlepsza odpowiedź
Ile 1 dzieli się przez nieskończoność?
Jak zawsze w przypadku „nieskończoności”, należy zastosować Bustany „s Reguła nieskończoności :
Nieskończoność i intuicja nie wymieszaj
Więc odrzuć swoją intuicję i zapytaj:
Która nieskończoność?
Istnieje wiele dobrze zdefiniowanych nieskończoności, w tym te w:
- Prawdziwa linia rzutowania , gdzie \ frac1 {\ infty} = 0;
- Rozszerzona linia rzeczywista , gdzie \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- Liczby porządkowe, gdzie lewy podział jest zdefiniowany, ale dzielenie prawostronne nie działa, więc \ frac1 {\ omega} jest niezdefiniowane; oraz
- Liczby surrealistyczne gdzie istnieje nieskończenie mała multiplikatywna odwrotność odwrotna dla każdego pozaskończonego surrealistycznego, więc \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, ale zauważ, że \ epsilon dla wszystkich 0 \ in \ mathbb R.
Dlatego nie ma konkretnej odpowiedzi na pytanie „co jest podzielone przez nieskończoność”, dopóki nie określisz, którą nieskończoność masz na myśli.
Nawiasem mówiąc, stwierdzenie innych osób, że „ nieskończoność nie jest liczbą ”jest po prostu niepoprawna. Nie ma liczb pozaskończonych w tradycyjnych zbiorach liczb, takich jak \ mathbb {N, Z, Q, R, C}, ale liczby pozaskończone są powszechne w klasach liczb, takich jak liczby porządkowe, kardynały czy liczby surrealne. Raczej zaskakujące, być może, że nie ma jednej definicji „liczby” w matematyce.
Odpowiedź
Zanim przejdę do odpowiedzi na pytanie, chciałbym powiedzieć, że większość książek na limitach umieść nieokreślone formy w „ źle ” (przynajmniej podstawowe książki o limitach). Mówię tak, ponieważ jest coś ukrytego w tych formach.
Siedem nieokreślonych form, o których prawdopodobnie czytałeś, to: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Ukryta rzecz : kiedy piszesz \ frac {0} {0}, faktycznie oznacza to \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, gdzie \ rightarrow 0 oznacza dążący lub zbliżający się do zera . Chciałbym również zwrócić uwagę, że \ rightarrow \ infty i \ infty są równoważne (ale \ rightarrow 0 i 0 nie są równoważne w notacji).
Wszystko to oznacza, że jeśli musisz ocenić \ frac {f (x)} {g (x)}, gdzie f (x) = g (x) = 0, wtedy twoja odpowiedź byłaby po prostu „ podział nie jest zdefiniowane ”(różni się od bycia nieokreślonym). Jeśli jednak musisz obliczyć \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, gdzie \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, wtedy byłaby to forma nieokreślona, w którym to przypadku przystępujesz do oceny granic. Chciałbym dodać, że bycie nieokreślonym różni się od istnienia ograniczeń. Inną rzeczą jest to, że gdy limit wynosi \ infty, oznacza to również, że limit nie istnieje. Częstym błędem, który stwierdziłem, którzy nauczyciele (z miejsca, w którym uczyłem), jest to, że akceptują zarówno: \ infty, jak i nieokreślone jako odpowiedź na pytanie takie jak \ frac {5} {0} (nawet jeśli kontekst nie jest ograniczony). Prawidłowa odpowiedź (i jedyna odpowiedź) to „ dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane ”.
Odpowiedź na twoje pytanie zależy więc od tego, jak postrzegasz zapis. Tutaj nie chodzi o to, która z nich jest poprawna (ponieważ prawdopodobnie będziesz musiał przestudiować historię ewolucji granic, a nadal możesz nie znaleźć odpowiedzi lub może się okazać, że obie te percepcje istnieją w różnych „społecznościach”) . W moim odczuciu powiedziałbym, że forma w PO nie jest nieokreślona i daje wynik 1 (odczytałem zapis jako \ left (\ text {dokładnie} 1 \ right) ^ \ infty w przeciwieństwie do \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Podkreślam znaczenie zrozumienia tej subtelności, ponieważ wielu z nas faktycznie przystąpi (założę się) do oceny (według pewnego standardu / metoda konwencjonalna) pytania typu: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (tylko prawostronny limit), gdy odpowiedź powinna być wyraźna w zasięgu wzroku ( nawiasy „nierozpoznane” oznaczają funkcję podłogi).