Mejor respuesta
Supongamos que tenemos un conjunto de N valores numéricos \ {x\_i \}. Su media se define como \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Podemos reescribir el lado izquierdo como
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Reste el LHS de ambos lados, de modo que 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Podemos multiplicar ambos lados por N para obtener 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ barra x, y es una buena propiedad de las sumas finitas (y de ciertas sumas infinitas) que sus términos puedan reordenarse arbitrariamente sin cambiar el valor de la suma. En particular, dado que las dos sumas que aparecen en esta última ecuación tienen el mismo número de términos, podemos emparejar el i-ésimo término de cada suma y combinar la diferencia de sumas en una sola suma de diferencias: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Este resultado también es válido para las medias sobre distribuciones continuas, donde se define dicha media.
Lo que esto significa es que la media \ bar x es precisamente el número sobre el cual se equilibran los «pesos» de los datos \ {x\_i \} – por construcción. Si fuéramos por el otro lado, y supongamos que hay algún número x ^ * tal que \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (es decir, supongamos que existe este número que tiene esta propiedad y ver si esto es consistente o bien definido), resolver para x ^ * daría como resultado la fórmula original que usamos como la definición de \ bar x.
Respuesta
Otros lo han señalado en términos de expresiones matemáticas y mi intento es más bien acercarme intuitivamente. Mientras toma la media, divide la suma de observaciones con el número de observaciones, digamos n. La propiedad de dividir algo es hacer partes iguales en nuestro caso n. Ahora, sostenga este sombrero de pensamiento matemático y tomemos un buen ejemplo: en una comunidad, la gente estaba planeando una reunión y se suponía que todos iban a comprar pasteles en sus casas. Sin embargo, no les dijeron cuánto traer. Entonces la gente hizo sus propias suposiciones y vino con diferente cantidad de pasteles D\_i. Todos los pasteles se juntaron y comenzaron a redistribuirlos por igual (digamos \ bar {d}), independientemente de lo que trajera cada individuo. Entonces, aquellos que trajeron más obtuvieron un poco menos a cambio, mientras que aquellos que trajeron menos ganaron un poco más a cambio. Ahora bien, una cosa es segura que, la cantidad total de torta que se ganó es la misma que la cantidad de torta que se “perdió” o de lo contrario tenemos un problema mayor de ley de conservación de las tortas (masa) :-). La cantidad de pastel extra que recibe una sola persona es la diferencia entre D\_i – \ bar {d}. Esta cantidad es -ve y todos los ganadores de pastel contribuirán a una suma mayor -ve. De manera similar, por otro lado, para aquellos que trajeron pasteles adicionales de los que recibieron D\_i – \ bar {d} es un valor + ve que suma todo el pastel adicional que se distribuyó a los ganadores de pasteles. El total de estas dos sumas mayores debe ser 0.
Esto es lo que queremos entender.