Legjobb válasz
Tegyük fel, hogy N numerikus értékkészletünk van \ {x\_i \}. Átlagukat \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
A bal oldalt úgy írhatjuk át, hogy
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ alátét {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Vonja le az LHS-t mindkét oldalról úgy, hogy 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Mindkét oldalt szorozzuk N-vel, hogy 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ x x, és a véges összegek (és bizonyos végtelen összegek) szép tulajdonsága, hogy feltételeiket önkényesen átrendezhetjük az összeg értékének megváltoztatása nélkül. Különösen, mivel az utolsó egyenletben megjelenő két összegnek ugyanannyi tagja van, az egyes összegek i-edik tagját párosíthatjuk, és az összegek különbségét egyetlen különbségek összegévé egyesíthetjük: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Ez az eredmény az átlagokra is érvényes folyamatos eloszlások felett, ahol egy ilyen átlag meg van határozva.
Ez azt jelenti, hogy az átlag \ bar x pontosan az a szám, amelyre az adatok \ {x\_i \} „súlyai” kiegyensúlyozottak – Építkezés. A másik utat kellett volna járnunk, és tegyük fel, hogy létezik olyan x ^ * szám, amely \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (azaz tegyük fel, hogy létezik ez a szám, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, és nézze meg, hogy ez következetes vagy jól definiált), az x ^ * megoldása megkapja az eredeti képletet, amelyet az \ bar x definíciójaként használtunk.
Válasz
Mások kifejezték matematikai kifejezések és kísérletem az, hogy inkább intuitív módon közelítsem meg. Amíg átlagot vesz, osztja a megfigyelések összegét a megfigyelések számával, mondjuk n. Valamit el lehet osztani azzal, hogy egyenlő részeket készítsünk esetünkben n. Most tartsa ezt a matematikai gondolkodási kalapot, és vegyünk egy ízletes példát – Egy közösségben az emberek összejövetelt terveztek, és mindenkinek tortákat kellett volna kapnia a házából. Mégsem mondták meg nekik, mennyit kell hozniuk. Tehát az emberek megfogalmazták saját feltételezéseiket, és más mennyiségű süteménnyel érkeztek D\_i. Az összes süteményt összerakták, és elkezdték egyenletesen újraosztani (mondjuk \ bar {d}), függetlenül attól, hogy mit hoztak egyének. Tehát azok, akik többet hoztak, valamivel kevesebbet kaptak cserébe, míg azok, akik kevesebbet hoztak, valamivel többet kaptak cserébe. Most egy dolog biztos abban, hogy a megszerzett sütemény összege megegyezik az „elveszett” sütemény mennyiségével, különben nagyobb problémánk van a sütemények megőrzésének törvényével (tömeg) :-). Az egyetlen ember által kapott extra sütemény mennyisége a D\_i – \ bar {d} közötti különbség. Ez a mennyiség -ve, és minden sütemény-nyertes hozzájárul a nagyobb -ve összeghez. Hasonlóképpen, másrészt azok számára, akik extra süteményeket hoztak, mint amennyit kaptak, a D\_i – \ bar {d} egy + ve érték, összegezve az összes extra süteményt, amelyet kiosztottak a torta nyerteseinek. Ennek a két nagyobb összegnek összesen 0-nak kell lennie.
Ezt szeretnénk megérteni.