Beste antwoord
Stel dat we een set van N numerieke waarden \ {x\_i \} hebben. Hun gemiddelde wordt gedefinieerd als \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
We kunnen de linkerkant herschrijven als
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Trek de LHS van beide kanten af, zodat 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ maat x.
We kunnen beide zijden vermenigvuldigen met N om 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ te krijgen maat x, en het is een aardige eigenschap van eindige sommen (en van bepaalde oneindige sommen) dat hun termen willekeurig kunnen worden herschikt zonder de waarde van de som te veranderen. In het bijzonder, aangezien de twee sommen die in deze laatste vergelijking voorkomen hetzelfde aantal termen hebben, kunnen we de i-de term van elke som koppelen en het verschil in sommen combineren tot een enkele som van verschillen: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Dit resultaat geldt ook voor middelen over continue verdelingen, waar een dergelijk gemiddelde is gedefinieerd.
Wat dit betekent is dat het gemiddelde \ staaf x precies het getal is waarover de “gewichten” van de gegevens \ {x\_i \} in evenwicht zijn – door bouw. Moeten we de andere kant op gaan, en stel dat er een getal x ^ * is zodat \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (dat wil zeggen, stel dat dit getal bestaat met deze eigenschap en kijk of dit is consistent of goed gedefinieerd), zou het oplossen van x ^ * de originele formule opleveren die we gebruikten als de definitie van \ bar x.
Antwoord
Anderen hebben erop gewezen in termen van wiskundige uitdrukkingen en mijn poging is om het eerder intuïtief te benaderen. Terwijl u gemeen neemt, deelt u de som van de waarnemingen door het aantal waarnemingen, zeg n. De eigenschap om iets te verdelen is om gelijke delen te maken in ons geval n. Houd deze hoed voor wiskundig denken vast en laten we een smakelijk voorbeeld nemen – In een gemeenschap waren mensen van plan een bijeenkomst te organiseren en iedereen moest taarten uit hun huis halen. Ze kregen echter niet te horen hoeveel ze moesten meenemen. Dus mensen maakten hun eigen aannames en kwamen met verschillende hoeveelheden cakes D\_i. Alle taarten werden in elkaar gezet en ze begonnen het gelijkmatig terug te verdelen (zeg \ bar {d}), ongeacht wat iemand meebracht. Dus degenen die meer brachten, kregen er iets minder voor terug, terwijl degenen die minder brachten er iets meer voor terugwonnen. Nu is één ding zeker dat de totale hoeveelheid cake die werd gewonnen hetzelfde is als die van de hoeveelheid cake die “verloren” was, of anders hebben we een groter probleem van de wet van conservering van cakes (massa) :-). De hoeveelheid extra cake die een enkele persoon ontvangt, is het verschil tussen D\_i – \ bar {d}. Deze hoeveelheid is -ve en alle cake gainers zullen bijdragen aan een grotere som. Evenzo, aan de andere kant, voor degenen die extra cakes hebben meegebracht dan dat ze D\_i – \ bar {d} hebben gekregen, is een + ve waarde die alle extra cake opsomt die werd uitgedeeld aan cake-gainers. Het totaal van deze twee grotere sommen moet 0 zijn.
Dit is wat we willen begrijpen.