Cel mai bun răspuns
Să presupunem că avem un set de N valori numerice \ {x\_i \}. Media lor este definită ca \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Putem rescrie partea stângă ca
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Scădeți LHS din ambele părți, astfel încât 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Putem înmulți ambele părți cu N pentru a obține 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bara x și este o proprietate plăcută a sumelor finite (și a anumitor sume infinite) că termenii lor pot fi rearanjați în mod arbitrar fără a modifica valoarea sumei. În special, deoarece cele două sume care apar în această ultimă ecuație au același număr de termeni, putem împerechea al i-lea termen al fiecărei sume și să combinăm diferența de sume într-o singură sumă de diferențe: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Acest rezultat este valabil și pentru mijloace peste distribuții continue, unde este definită o astfel de medie.
Ce înseamnă asta este că media \ bar x este exact numărul despre care sunt „echilibrate” datele \ {x\_i \} – prin constructie. Ar trebui să mergem în sens invers și să presupunem că există un număr x ^ * astfel încât \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (adică să presupunem că există acest număr care are această proprietate și să vedem dacă aceasta este consecventă sau bine definită), rezolvarea pentru x ^ * ar produce formula originală pe care am folosit-o ca definiție a \ bar x.
Răspuns
Alții au subliniat-o în termeni a expresiilor matematice și încercarea mea este să o abordez mai degrabă intuitiv. În timp ce luați rău, împărțiți suma observațiilor cu numărul de observații, spuneți n. Proprietatea de a împărți ceva este de a face părți egale în cazul nostru n. Acum, țineți această pălărie de gândire matematică și permiteți-ne să luăm un exemplu gustos – Într-o comunitate, oamenii plănuiau să se reunească și toată lumea trebuia să ia prăjituri de la casele lor. Totuși, nu li s-a spus cât să aducă. Deci, oamenii și-au făcut propriile ipoteze și au venit cu o cantitate diferită de prăjituri D\_i. Toate prăjiturile au fost puse împreună și au început să le redistribuie în mod egal (să zicem \ bar {d}), indiferent de ceea ce a adus orice persoană. Deci, cei care au adus mai mult au devenit puțin mai mici în schimb, în timp ce cei care au adus mai puțin au câștigat ceva mai mult în schimb. Acum un lucru este sigur că, cantitatea totală de tort care a fost câștigată este aceeași cu cea a cantității de tort care a fost „pierdută” sau altfel avem o problemă mai mare a legii conservării prăjiturilor (masă) :-). Cantitatea de tort suplimentar primită de o singură persoană este diferența dintre D\_i – \ bar {d}. Această cantitate este -ve și toți câștigătorii de prăjituri vor contribui la o sumă mai mare -ve. În mod similar, pe de altă parte, pentru cei care au adus prăjituri suplimentare decât au primit D\_i – \ bar {d} este o valoare + ve însumând toate prăjiturile suplimentare care au fost distribuite câștigătorilor de prăjituri. Totalul acestor două sume mai mari trebuie să fie 0.
Aceasta este ceea ce vrem să înțelegem.