Beste Antwort
Angenommen, wir haben eine Menge von N numerischen Werten \ {x\_i \}. Ihr Mittelwert ist definiert als \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Wir können die linke Seite als
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ umschreiben frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Subtrahieren Sie die LHS von beiden Seiten, so dass 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Wir können beide Seiten mit N multiplizieren, um 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ zu erhalten bar x, und es ist eine schöne Eigenschaft endlicher Summen (und bestimmter unendlicher Summen), dass ihre Terme willkürlich neu angeordnet werden können, ohne den Wert der Summe zu ändern. Insbesondere können wir, da die beiden in dieser letzten Gleichung vorkommenden Summen dieselbe Anzahl von Termen haben, den i-ten Term jeder Summe abkoppeln und die Summe der Summen zu einer einzigen Summe von Differenzen kombinieren: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Dieses Ergebnis gilt auch für Mittelwerte über kontinuierliche Verteilungen, bei denen ein solcher Mittelwert definiert ist.
Dies bedeutet, dass der Mittelwert \ bar x genau die Zahl ist, um die die „Gewichte“ der Daten \ {x\_i \} ausgeglichen werden Konstruktion. Würden wir den anderen Weg gehen und annehmen, dass es eine Zahl x ^ * gibt, so dass \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (dh nehmen wir an, dass diese Zahl existiert, die diese Eigenschaft hat, und sehen Sie, ob Dies ist konsistent oder gut definiert. Wenn Sie nach x ^ * suchen, erhalten Sie die ursprüngliche Formel, die wir als Definition von \ bar x verwendet haben.
Antwort
Andere haben darauf hingewiesen von mathematischen Ausdrücken und mein Versuch ist es, es eher intuitiv anzugehen. Während Sie den Mittelwert nehmen, teilen Sie die Summe der Beobachtungen durch die Anzahl der Beobachtungen, sagen wir n. Die Eigenschaft, etwas zu teilen, besteht darin, in unserem Fall n gleiche Teile zu machen. Halten Sie jetzt diesen mathematischen Denkhut und lassen Sie uns ein leckeres Beispiel nehmen – In einer Gemeinde planten die Leute ein Treffen und jeder sollte Kuchen aus seinen Häusern holen. Man sagte ihnen jedoch nicht, wie viel sie mitbringen sollten. Also machten die Leute ihre eigenen Annahmen und kamen mit unterschiedlicher Menge Kuchen D\_i. Alle Kuchen wurden zusammengestellt und sie verteilten sie gleichmäßig zurück (sagen wir \ bar {d}), unabhängig davon, was eine Person mitbrachte. Diejenigen, die mehr mitbrachten, erhielten im Gegenzug etwas weniger, während diejenigen, die weniger mitbrachten, im Gegenzug etwas mehr erzielten. Nun ist eines sicher: Die Gesamtmenge des gewonnenen Kuchens entspricht der Menge des „verlorenen“ Kuchens, oder wir haben ein größeres Problem des Gesetzes zur Konservierung von Kuchen (Masse) :-). Die Menge an zusätzlichem Kuchen, die eine einzelne Person erhält, ist die Differenz zwischen D\_i – \ bar {d}. Diese Menge ist -ve und alle Kuchengewinner tragen zu einer größeren -ve Summe bei. In ähnlicher Weise ist D\_i – \ bar {d} für diejenigen, die zusätzliche Kuchen mitgebracht haben, als sie erhalten haben, ein + ve Wert, der sich auf den gesamten zusätzlichen Kuchen summiert, der an die Kuchengewinner verteilt wurde. Die Summe dieser beiden größeren Summen muss 0 sein.
Dies ist, was wir verstehen wollen.