Risposta migliore
Supponiamo di avere un insieme di N valori numerici \ {x\_i \}. La loro media è definita come \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Possiamo riscrivere il lato sinistro come
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Sottrai il LHS da entrambi i lati, in modo che 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Possiamo moltiplicare entrambi i lati per N per ottenere 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x, ed è una bella proprietà delle somme finite (e di certe somme infinite) che i loro termini possono essere riorganizzati arbitrariamente senza cambiare il valore della somma. In particolare, poiché le due somme che compaiono in questultima equazione hanno lo stesso numero di termini, possiamo accoppiare li-esimo termine di ciascuna somma e combinare la differenza di somme in ununica somma di differenze: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Questo risultato vale anche per le medie su distribuzioni continue, dove tale media è definita.
Ciò significa che la media \ bar x è precisamente il numero rispetto al quale vengono bilanciati i “pesi” dei dati \ {x\_i \} – da costruzione. Se dovessimo andare dallaltra parte, e supponiamo che ci sia un numero x ^ * tale che \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (cioè supponiamo che esista questo numero che ha questa proprietà e vedi se questo è coerente o ben definito), risolvendo per x ^ * si otterrebbe la formula originale che abbiamo usato come definizione di \ bar x.
Risposta
Altri lo hanno indicato in termini di espressioni matematiche e il mio tentativo è piuttosto di avvicinarmi intuitivamente. Mentre prendi la media, dividi la somma delle osservazioni per il numero di osservazioni, ad esempio n. La proprietà di dividere qualcosa è di rendere le parti uguali nel nostro caso n. Ora, tieni questo cappello da pensiero matematico e facciamo un esempio gustoso: in una comunità, le persone stavano pianificando una riunione e tutti avrebbero dovuto prendere le torte dalle loro case. Non è stato detto loro quanto portare, però. Quindi le persone hanno fatto le proprie ipotesi e sono venute con diverse quantità di torte D\_i. Tutte le torte furono messe insieme e iniziarono a ridistribuirle equamente (diciamo \ bar {d}), indipendentemente da ciò che qualsiasi individuo portava. Quindi, quelli che hanno portato di più hanno ottenuto un po meno in cambio, mentre quelli che hanno portato di meno hanno guadagnato un po di più in cambio. Ora una cosa è certa che, la quantità totale di torta che è stata guadagnata è uguale a quella della quantità di torta che è stata “persa” altrimenti abbiamo un problema più grande di legge di conservazione delle torte (massa) :-). La quantità di torta extra ricevuta da una singola persona è la differenza tra D\_i – \ bar {d}. Questa quantità è -ve e tutti i cake gainer contribuiranno a una somma maggiore -ve. Allo stesso modo, daltra parte, per coloro che hanno portato torte extra di quelle che hanno ricevuto D\_i – \ bar {d} è un valore + ve che si somma a tutta la torta extra che è stata distribuita a chi acquista torte. Il totale di queste due somme maggiori deve essere 0.
Questo è ciò che vogliamo capire.