Migliore risposta
Cosè 1 diviso per infinito?
Come sempre con “infinito” dovresti applicare Bustany “s Regola dellinfinito :
Infinito e Intuizione no mix
Quindi butta fuori la tua intuizione e chiedi:
Quale infinito?
Ci sono un numero qualsiasi di infiniti ben definiti, inclusi quelli in:
- La Linea proiettiva reale dove \ frac1 {\ infty} = 0;
- La Linea reale estesa dove \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- I numeri ordinali dove ha lasciato la divisione è un tipo definito, ma la divisione a destra non funziona, quindi \ frac1 {\ omega} non è definito e
- I numeri surreali dove esiste un inverso moltiplicativo infinitesimale per ogni Surreale transfinito, quindi \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, ma nota che \ epsilon per tutti 0 \ in \ mathbb R.
Quindi non esiste una risposta specifica a “cosa è uno diviso per infinito” finché non specifichi quale infinito intendi.
A proposito, laffermazione fatta da altri che ” linfinito non è un numero ”è semplicemente sbagliato. Non ci sono numeri transfiniti negli insiemi tradizionali di numeri come \ mathbb {N, Z, Q, R, C} ma i numeri transfiniti sono comuni in classi di numeri come gli Ordinali, i Cardinali o i Surreali. Piuttosto sorprendentemente, forse, non esiste una definizione unica di “numero” in matematica.
Risposta
Prima di procedere con la risposta alla domanda, vorrei dire che la maggior parte dei libri sui limiti collocare le forme indeterminate in un modo “ sbagliato ” (almeno i libri elementari sui limiti). Lo dico perché cè qualcosa di nascosto in quei moduli.
I sette moduli indeterminati di cui probabilmente hai letto sono: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. La cosa nascosta : quando scrivi \ frac {0} {0} in realtà significa \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, dove \ rightarrow 0 significa tendente o prossimo allo zero . Vorrei anche sottolineare che \ rightarrow \ infty e \ infty sono equivalenti (ma \ rightarrow 0 e 0 non sono equivalenti in termini di notazione).
Tutto ciò significa che se devi valutare \ frac {f (x)} {g (x)}, dove f (x) = g (x) = 0, la tua risposta sarebbe semplicemente “ la divisione non è definito “(questo è diverso dallessere indeterminato). Tuttavia, se devi valutare \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, dove \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, allora sarebbe una forma indeterminata, nel qual caso si procederà a valutare i limiti. Vorrei aggiungere che essere indeterminati è diverso dallesistenza di limiti. Unaltra cosa è che quando il limite è \ infty, significa anche che il limite non esiste. Un errore comune che ho riscontrato che gli insegnanti (da dove ho fatto la scuola) fanno è che accettano sia: \ infty che indeterminato, come risposta a una domanda come \ frac {5} {0} (anche quando il contesto non è limitato). La risposta corretta (e lunica risposta) è “ la divisione per zero non è definita “.
Quindi, la risposta alla tua domanda dipende da come percepisci la notazione. La domanda qui non riguarda quale sia quella corretta (per questo dovrai probabilmente studiare la storia dellevoluzione dei limiti, e potresti ancora non trovare una risposta o potresti scoprire che entrambe le percezioni esistono in diverse “comunità”) . Con la mia percezione direi che la forma nellOP non è indeterminata e restituisce 1 (ho letto la notazione come \ left (\ text {esattamente} 1 \ right) ^ \ infty al contrario di \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Sottolineo limportanza di comprendere questa sottigliezza perché molti di noi procederanno (scommetto) a valutare (secondo alcuni standard / metodo convenzionale) le domande del tipo: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (solo il limite della mano destra) quando la risposta dovrebbe essere chiara a vista ( le parentesi “non riconosciute” rappresentano la funzione pavimento).