Beste svaret
Hva er 1 delt på uendelig?
Som alltid med «uendelig», bør du bruke Bustany «s Rule of Infinity :
Infinity and Intuition do not bland
Så chuck ut intuisjonen din og spør:
Hvilken uendelig?
Det er et hvilket som helst antall veldefinerte uendeligheter, inkludert de i:
- Real Projective Line hvor \ frac1 {\ infty} = 0;
- Utvidet ekte linje der \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- Ordinære tall der venstre divisjon er definert på en måte, men høyre inndeling fungerer ikke så \ frac1 {\ omega} er udefinert; og
- Surrealistiske tall der det eksisterer en uendelig multiplikativ invers for hver transfinitt surrealistisk, så \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, men vær oppmerksom på at \ epsilon for alle 0 \ i \ mathbb R.
Derfor er det ikke noe spesifikt svar på «hva er en delt med uendelig» før du spesifiserer hvilken uendelighet du mener.
Forresten, påstanden fra andre om at » uendelig er ikke et tall ”er rett og slett feil. Det er ingen transfinite tall i de tradisjonelle settene med tall som \ mathbb {N, Z, Q, R, C}, men transfinite tall er vanlig i klasser av tall som Ordinals, Cardinals eller Surreals. Ganske overraskende er det kanskje ikke en eneste definisjon av «tall» i matematikk.
Svar
Før jeg fortsetter med å svare på spørsmålet, vil jeg si at de fleste bøkene på grenser setter de ubestemte skjemaene på en « feil » måte (i det minste elementære bøker om grenser). Jeg sier det fordi det er noe skjult i disse skjemaene.
De syv ubestemte skjemaene du sannsynligvis har lest om er: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Den skjulte tingen : Når du skriver \ frac {0} {0} betyr det faktisk \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, der \ rightarrow 0 betyr som pleier eller nærmer seg null . Jeg vil også påpeke at \ rightarrow \ infty og \ infty er ekvivalente (men \ rightarrow 0 og 0 er ikke ekvivalente notasjonsmessige).
Hva alt dette betyr er at hvis du må evaluere \ frac {f (x)} {g (x)}, hvor f (x) = g (x) = 0, vil svaret ditt ganske enkelt være « deling er ikke definert «(dette er forskjellig fra å være ubestemt). Men hvis du må evaluere \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, hvor \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, så vil det være en ubestemt form. I så fall fortsetter du med å evaluere grensene. Jeg vil gjerne legge til at det å være ubestemt er forskjellig fra eksistensen av grenser. En annen ting er at når grensen er \ infty, betyr det også at grensen ikke eksisterer. En vanlig feil jeg fant hvilke lærere (hvorfra jeg gikk i skolegang) gjør er at de godtar begge: \ infty og ubestemt, som svar på et spørsmål som \ frac {5} {0} (selv når konteksten ikke er begrenset). Det riktige svaret (og det eneste svaret) er « divisjon med null er ikke definert «.
Så svaret på spørsmålet ditt avhenger av hvordan du oppfatter notasjonen. Spørsmålet her handler ikke om hvilken som er riktig (for det må du sannsynligvis studere historien om utviklingen av grenser, og du kan fremdeles ikke finne svar, eller du kan oppdage at begge oppfatningene eksisterer i forskjellige «samfunn») Med min oppfatning vil jeg si at skjemaet i OP ikke er ubestemt og evalueres til 1 (jeg leser notasjonen som \ left (\ text {exact}) 1 \ høyre) ^ \ infty i motsetning til \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Jeg understreker viktigheten av å forstå denne subtiliteten fordi mange av oss faktisk vil fortsette (jeg vedder) på å evaluere (av en eller annen standard / konvensjonell metode) spørsmålene av typen: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (bare høyre grense) når svaret skal være klart synlig ( de «ukjente» brakettene står for gulvfunksjonen).