Beste svaret
Anta at vi har et sett med N numeriske verdier \ {x\_i \}. Gjennomsnittet deres er definert som \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Vi kan omskrive venstre side som
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Trekk LHS fra begge sider, slik at 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Vi kan multiplisere begge sider med N for å få 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x, og det er en fin egenskap med endelige summer (og visse uendelige summer) at vilkårene deres kan omorganiseres vilkårlig uten å endre verdien av summen. Spesielt, siden de to summene som vises i denne siste ligningen, har samme antall termer, kan vi koble den første termen til hver sum og kombinere forskjellen i summer til en enkelt differansesum: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Dette resultatet gjelder også for midler over kontinuerlige fordelinger, hvor et slikt middel er definert.
Hva dette betyr er at gjennomsnittet \ bar x er nøyaktig tallet som «vektene» av dataene \ {x\_i \} balanseres om – av konstruksjon. Skulle vi gå den andre veien, og anta at det er noe tall x ^ * slik at \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (dvs. antar at dette tallet eksisterer som har denne egenskapen og se om dette er konsistent eller veldefinert), å løse for x ^ * vil gi den opprinnelige formelen vi brukte som definisjonen av \ bar x.
Svar
Andre har påpekt det i termer av matematiske uttrykk og mitt forsøk er å heller nærme meg det intuitivt. Mens du mener, deler du summen av observasjoner med antall observasjoner, si n. Egenskapen ved å dele noe er å gjøre lik deler i vårt tilfelle n. Nå, hold på denne matematiske tenkehatten og la oss ta et velsmakende eksempel – I et samfunn planla folk å komme sammen, og alle skulle få kaker fra husene sine. De ble ikke fortalt hvor mye de skulle ta med. Så folk gjorde sine egne antakelser og kom med forskjellige mengder kaker D\_i. Alle kakene ble satt sammen, og de begynte å omfordele den likt (si \ bar {d}), uavhengig av hva noen hadde med seg. Så de som brakte mer, fikk litt mindre tilbake, mens de som brakte mindre, fikk litt mer igjen. Nå er en ting sikker på at den totale mengden kake som ble oppnådd er den samme som mengden kake som ble «tapt», ellers har vi større problemer med loven om konservering av kaker (masse) 🙂 Mengden ekstra kake mottatt av en enkelt person er forskjellen mellom D\_i – \ bar {d}. Denne mengden er -ve, og alle kakegevinster vil bidra til en større sum. På den annen side er for de som tok med ekstra kaker enn de mottok D\_i – \ bar {d} en + ve-verdi som oppsummerer opp til all den ekstra kaken som ble distribuert til kakegevinster. Totalen av disse to større summene må være 0.
Dette er hva vi vil forstå.