Melhor resposta
O que é 1 dividido pelo infinito?
Como sempre com “infinito”, você deve aplicar Bustany “s Regra do infinito :
O infinito e a intuição não misture
Então jogue fora sua intuição e pergunte:
Qual infinito?
Há qualquer número de infinitos bem definidos, incluindo aqueles em:
- A Linha Projetiva Real onde \ frac1 {\ infty} = 0;
- A Linha real estendida onde \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- Os números ordinais onde divisão à esquerda é meio que definido, mas a divisão correta não funciona, então \ frac1 {\ omega} é indefinido; e
- Os Números surreais onde existe um inverso multiplicativo infinitesimal para cada Surreal transfinito, então \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, mas observe que \ epsilon para todos os 0 \ in \ mathbb R.
Portanto, não há uma resposta específica para “o que é um dividido pelo infinito” até que você especifique a qual infinito você quer dizer.
A propósito, a afirmação feita por outros de que “ infinito não é um número ”é simplesmente incorreto. Não há números transfinitos nos conjuntos tradicionais de números como \ mathbb {N, Z, Q, R, C}, mas os números transfinitos são comuns em classes de números como Ordinais, Cardinais ou Surreais. Surpreendentemente, talvez, não haja uma definição única de “número” em matemática.
Resposta
Antes de prosseguir com a resposta à pergunta, gostaria de dizer que a maioria dos livros sobre limites coloque as formas indeterminadas de uma maneira “ errada ” (pelo menos os livros elementares sobre limites). Digo isso porque há algo oculto nessas formas.
As sete formas indeterminadas sobre as quais você provavelmente leu são: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. A coisa oculta : quando você escreve \ frac {0} {0}, na verdade significa \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, onde \ rightarrow 0 significa tendendo para ou se aproximando de zero . Também gostaria de salientar que \ rightarrow \ infty e \ infty são equivalentes (mas \ rightarrow 0 e 0 não são equivalentes em notação).
O que tudo isso significa é que se você tiver que avaliar \ frac {f (x)} {g (x)}, onde f (x) = g (x) = 0, então sua resposta seria simplesmente “ divisão não é definido “(isso é diferente de ser indeterminado). No entanto, se você tiver que avaliar \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, onde \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, então essa seria uma forma indeterminada, caso em que você avança para avaliar os limites. Gostaria de acrescentar que ser indeterminado é diferente da existência de limites. Outra coisa é que quando o limite é \ infty, também significa que o limite não existe. Um erro comum que descobri que os professores (de onde eu fiz a escolaridade) cometem é que eles aceitam: \ infty e indeterminado, como uma resposta a uma pergunta como \ frac {5} {0} (mesmo quando o contexto não é limite). A resposta correta (e a única resposta) é “ divisão por zero não está definida “.
Portanto, a resposta à sua pergunta depende de como você percebe a notação. A questão aqui não é sobre qual é a correta (para isso você provavelmente terá que estudar a história da evolução dos limites, e você ainda pode não encontrar uma resposta ou pode descobrir que ambas as percepções existem em diferentes “comunidades”) . Com minha percepção, eu diria que a forma no OP não é indeterminada e avalia 1 (li a notação como \ left (\ text {exatamente} 1 \ right) ^ \ infty em oposição a \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Sublinho a importância de compreender esta sutileza porque muitos de nós irão realmente proceder (aposto) para avaliar (por algum padrão / método convencional) as questões do tipo: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (apenas o limite do lado direito) quando a resposta deve ser clara à vista ( os colchetes “não reconhecidos” representam a função de piso).