Melhor resposta
Suponha que temos um conjunto de N valores numéricos \ {x\_i \}. Sua média é definida como \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Podemos reescrever o lado esquerdo como
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Subtrair o LHS de ambos os lados, de modo que 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Podemos multiplicar ambos os lados por N para obter 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x, e é uma boa propriedade das somas finitas (e de certas somas infinitas) que seus termos possam ser reorganizados arbitrariamente sem alterar o valor da soma. Em particular, como as duas somas que aparecem nesta última equação têm o mesmo número de termos, podemos emparelhar o i-ésimo termo de cada soma e combinar a diferença das somas em uma única soma de diferenças: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Este resultado também se aplica às médias sobre distribuições contínuas, onde tal média é definida.
O que isso significa é que a média \ bar x é precisamente o número sobre o qual os “pesos” dos dados \ {x\_i \} são balanceados – por construção. Se fossemos ir de outra maneira, e supor que existe algum número x ^ * tal que \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (isto é, suponha que existe este número que tem esta propriedade e veja se isso é consistente ou bem definido), resolver para x ^ * produziria a fórmula original que usamos como a definição de \ bar x.
Resposta
Outros apontaram isso em termos de expressões matemáticas e minha tentativa é abordá-lo intuitivamente. Enquanto você pega a média, você divide a soma das observações pelo número de observações, digamos n. A propriedade de dividir algo é fazer partes iguais em nosso caso n. Agora, segure este chapéu do pensamento matemático e vamos dar um exemplo saboroso – em uma comunidade, as pessoas estavam planejando uma reunião e todos deveriam pegar bolos em suas casas. Eles não foram informados sobre quanto trazer, entretanto. Então, as pessoas fizeram suas próprias suposições e vieram com diferentes quantidades de bolos D\_i. Todos os bolos foram colocados juntos e eles começaram a redistribuí-los igualmente (digamos \ bar {d}), independentemente do que cada indivíduo trouxesse. Assim, aqueles que trouxeram mais receberam pouco menos em troca, enquanto aqueles que trouxeram menos ganharam um pouco mais em troca. Agora uma coisa é certa que, a quantidade total de bolo que se ganhou é igual à quantidade de bolo que se “perdeu” ou então teremos maior problema de lei de conservação de bolos (massa) :-). A quantidade de bolo extra recebida por uma única pessoa é a diferença entre D\_i – \ bar {d}. Essa quantidade é -ve e todos os ganhadores de bolo contribuirão para uma soma -ve maior. Da mesma forma, por outro lado, para aqueles que trouxeram bolos extras do que receberam D\_i – \ bar {d} é um valor + ve somando todo o bolo extra que foi distribuído aos ganhadores de bolo. O total dessas duas somas maiores deve ser 0.
Isso é o que queremos entender.