Beste Antwort
Was ist 1 geteilt durch unendlich?
Wie immer bei „unendlich“ sollten Sie Bustanys Regel der Unendlichkeit anwenden:
Unendlichkeit und Intuition nicht mix
Also werfen Sie Ihre Intuition raus und fragen Sie:
Welche Unendlichkeit?
Es gibt eine beliebige Anzahl gut definierter Unendlichkeiten, einschließlich der in:
- Die Real Projective Line wobei \ frac1 {\ infty} = 0;
- Die Erweiterte reelle Linie wobei \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- Die Ordnungszahlen, bei denen die linke Division verlassen hat ist irgendwie definiert, aber die richtige Unterteilung funktioniert nicht, sodass \ frac1 {\ omega} undefiniert ist und
- die surrealen Zahlen wo für jedes transfinite Surreal eine infinitesimale multiplikative Inverse existiert, also \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, aber beachte, dass \ epsilon für alle 0 \ in \ mathbb R.
Daher gibt es keine spezifische Antwort auf „Was ist eins geteilt durch Unendlichkeit“, bis Sie angeben, welche Unendlichkeit Sie meinen.
Übrigens die Behauptung anderer, dass “ Unendlichkeit ist keine Zahl “ist einfach falsch. Es gibt keine transfiniten Zahlen in den traditionellen Zahlenmengen wie \ mathbb {N, Z, Q, R, C}, aber transfinite Zahlen sind in Zahlenklassen wie den Ordinalen, Kardinälen oder Surrealen üblich. Es ist vielleicht ziemlich überraschend, dass es in der Mathematik keine einheitliche Definition von „Zahl“ gibt.
Antwort
Bevor ich mit der Beantwortung der Frage fortfahre, möchte ich sagen, dass die meisten Bücher Setzen Sie die unbestimmten Formen auf eine „ falsche “ Weise (zumindest die elementaren Bücher über Grenzen). Ich sage es, weil in diesen Formularen etwas verborgen ist.
Die sieben unbestimmten Formen, über die Sie wahrscheinlich gelesen haben, sind: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Das Verborgene : Wenn Sie \ frac {0} {0} schreiben, bedeutet dies tatsächlich \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, wobei \ rightarrow 0 bedeutet , das gegen Null tendiert oder sich dieser nähert . Ich möchte auch darauf hinweisen, dass \ rightarrow \ infty und \ infty äquivalent sind (aber \ rightarrow 0 und 0 sind in Bezug auf die Notation nicht äquivalent).
Dies alles bedeutet, dass Sie bewerten müssen \ frac {f (x)} {g (x)}, wobei f (x) = g (x) = 0, dann wäre Ihre Antwort einfach „ Division nicht definiert „(dies unterscheidet sich von unbestimmt). Wenn Sie jedoch \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)} auswerten müssen, wobei \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, dann wäre das eine unbestimmte Form. In diesem Fall fahren Sie mit der Bewertung der Grenzwerte fort. Ich möchte hinzufügen, dass Unbestimmtheit sich von der Existenz von Grenzen unterscheidet. Eine andere Sache ist, dass wenn das Limit \ infty ist, es auch bedeutet, dass das Limit nicht existiert. Ein häufiger Fehler, den Lehrer (von wo ich zur Schule gegangen bin) gemacht haben, ist, dass sie beide akzeptieren: \ infty und unbestimmt, als Antwort auf eine Frage wie \ frac {5} {0} (auch wenn der Kontext nicht begrenzt ist). Die richtige Antwort (und die einzige Antwort) lautet „ Division durch Null ist nicht definiert „.
Die Antwort auf Ihre Frage hängt also davon ab, wie Sie die Notation wahrnehmen. Die Frage hier ist nicht, welche richtig ist (dafür müssen Sie „wahrscheinlich die Geschichte der Entwicklung der Grenzen studieren, und Sie finden möglicherweise immer noch keine Antwort, oder Sie stellen möglicherweise fest, dass beide Wahrnehmungen in verschiedenen“ Gemeinschaften „existieren). Mit meiner Wahrnehmung würde ich sagen, dass das Formular im OP nicht unbestimmt ist und 1 ergibt (ich habe die Notation als \ left (\ text {genau} gelesen) 1 \ rechts) ^ \ infty im Gegensatz zu \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Ich betone, wie wichtig es ist, diese Subtilität zu verstehen, da viele von uns tatsächlich fortfahren (ich wette), um (nach einem Standard) zu bewerten / konventionelle Methode) die Fragen des Typs: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (nur die rechte Grenze), wenn die Antwort auf den ersten Blick klar sein sollte ( Die „nicht erkannten“ Klammern stehen für die Bodenfunktion.