Nejlepší odpověď
Předpokládejme, že máme sadu N číselných hodnot \ {x\_i \}. Jejich průměr je definován jako \ bar x = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i = \ frac {1} {N} (x\_1 + x\_2 + \ ldots + x\_N).
Levou stranu můžeme přepsat jako
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} \ bar x & = \ frac {N} {N} \ bar x \\ & = \ frac {1} {N} (\ underbrace {\ bar x + \ bar x + \ ldots + \ bar x} \_ {N \ text {times}}) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x. \ End {align *}}
Odečtěte LHS z obou stran, takže 0 = \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ frac1N \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x.
Obě strany můžeme vynásobit N, abychom dostali 0 = \ sum\_ {i = 1} ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x, a je pěknou vlastností konečných součtů (a určitých nekonečných součtů), že jejich termíny lze libovolně přeskupit, aniž by se změnila hodnota součtu. Zejména proto, že dva součty, které se objevují v této poslední rovnici, mají stejný počet členů, můžeme párovat i-tý člen každého součtu a kombinovat rozdíl součtů do jediného součtu rozdílů: \ sum\_ {i = 1 } ^ N x\_i – \ sum\_ {i = 1} ^ N \ bar x = \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i- \ bar x) = 0.
Tento výsledek platí i pro prostředky přes spojité distribuce, kde je takový průměr definován.
To znamená, že průměr \ bar x je přesně číslo, kolem kterého jsou vyváženy „váhy“ dat \ {x\_i \} – konstrukce. Měli bychom jít opačnou cestou a předpokládejme, že existuje nějaké číslo x ^ * takové, že \ sum\_ {i = 1} ^ N (x\_i-x ^ *) = 0 (tj. Předpokládejme, že toto číslo existuje, které má tuto vlastnost a uvidíme, jestli to je konzistentní nebo dobře definované), řešení pro x ^ * by přineslo původní vzorec, který jsme použili jako definici \ bar x.
Odpověď
Jiní na to poukázali v termínech matematických výrazů a mým pokusem je spíše intuitivní přístup. Když vezmete průměr, vydělíte součet pozorování počtem pozorování, řekněme n. Vlastností dělení něčeho je v našem případě n rovné části. Nyní držte tento klobouk matematického myšlení a pojďme si vzít chutný příklad – V komunitě lidé plánovali setkání a všichni měli dostat koláče ze svých domů. Nebylo jim řečeno, kolik mají přinést. Takže lidé vytvořili své vlastní předpoklady a přišli s různým množstvím dortů D\_i. Všechny koláče byly spojeny a začaly je rovnoměrně přerozdělovat (řekněme \ bar {d}), bez ohledu na to, co kterýkoli jedinec přinesl. Takže ti, kteří přinesli více, dostali na oplátku o něco méně, zatímco ti, kteří přinesli méně, získali na oplátku trochu víc. Jedna věc je jistá, že celkové množství získaného koláče je stejné jako množství koláče, které bylo „ztraceno“, jinak máme větší problém se zákonem zachování koláčů (masových) :-). Množství dortu navíc, které dostává jedna osoba, je rozdíl mezi D\_i – \ bar {d}. Toto množství je -ve a všichni výherci dortů přispějí k vyšší -ve sumě. Podobně, Na druhou stranu, pro ty, kteří přinesli koláče navíc, než dostali, je D\_i – \ bar {d} kladná hodnota, která shrnuje veškerý koláč navíc, který byl distribuován výhercům dortů. Součet těchto dvou větších součtů musí být 0.
Tomu chceme porozumět.