Bedste svar
Hvad er 1 divideret med uendeligt?
Som altid med “uendelig” skal du anvende Bustany “s Uendelig regel :
Uendelighed og intuition gør ikke mix
Så chuck din intuition ud og spørg:
Hvilken uendelighed?
Der er et hvilket som helst antal veldefinerede uendelighed inklusive dem i:
- Real Projective Line hvor \ frac1 {\ infty} = 0;
- Udvidet rigtig linje hvor \ frac1 {\ pm \ infty} = 0;
- De ordinære tal, hvor venstre division er slags defineret, men højre opdeling fungerer ikke, så \ frac1 {\ omega} er udefineret; og
- Surrealistiske tal hvor der findes en uendelig multiplikativ invers for hver transfinit surrealistisk, så \ frac1 {\ omega} = \ epsilon> 0, men bemærk at \ epsilon for alle 0 \ i \ mathbb R.
Derfor er der ikke noget specifikt svar på “hvad er en divideret med uendelig”, før du angiver, hvilken uendelighed du mener.
Forresten, påstanden fra andre om, at ” uendelighed er ikke et tal ”er simpelthen forkert. Der er ingen transfinite tal i de traditionelle sæt af tal som \ mathbb {N, Z, Q, R, C}, men transfinite numre er almindelige i klasser af tal som Ordinals, Cardinals eller Surreals. Snarere overraskende er der måske ikke nogen enkelt definition af “antal” i matematik.
Svar
Før jeg fortsætter med at besvare spørgsmålet, vil jeg gerne sige, at de fleste af bøgerne på grænser sætter de ubestemte former på en “ forkert ” måde (i det mindste de grundlæggende bøger om grænser). Jeg siger det, fordi der er noget skjult i disse former.
De syv ubestemte former, som du sandsynligvis har læst om, er: \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty} , \ infty \ cdot 0, \ infty – \ infty, 0 ^ 0,1 ^ \ infty, \ infty ^ 0. Den skjulte ting : Når du skriver \ frac {0} {0} betyder det faktisk \ frac {\ rightarrow 0} {\ rightarrow 0}, hvor \ rightarrow 0 betyder tendens til eller nærmer sig nul . Jeg vil også gerne påpege, at \ rightarrow \ infty og \ infty er ækvivalente (men \ rightarrow 0 og 0 er ikke ækvivalente notationsmæssigt).
Hvad alt dette betyder er, at hvis du skal evaluere \ frac {f (x)} {g (x)}, hvor f (x) = g (x) = 0, ville dit svar simpelthen være “ division er ikke defineret “(dette er forskelligt fra at være ubestemt). Men hvis du skal evaluere \ lim\_ {x \ rightarrow a} \ frac {f (x)} {g (x)}, hvor \ lim\_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ lim\_ {x \ rightarrow a} g (x) = 0, så ville det være en ubestemt form, i hvilket tilfælde du fortsætter med at evaluere grænserne. Jeg vil gerne tilføje, at det at være ubestemt er forskelligt fra eksistensen af grænser. En anden ting er, at når grænsen er \ infty, betyder det også, at grænsen ikke eksisterer. En almindelig fejl, jeg fandt, hvilke lærere (hvorfra jeg gik i skole) laver, er at de accepterer begge: \ infty og ubestemt, som svar på et spørgsmål som \ frac {5} {0} (selv når sammenhængen ikke er begrænset). Det rigtige svar (og det eneste svar) er “ deling med nul defineres ikke “.
Så svaret på dit spørgsmål afhænger af, hvordan du opfatter notationen. Spørgsmålet her handler ikke om, hvilken der er korrekt (til det bliver du sandsynligvis nødt til at studere historien om udviklingen af grænser, og du kan muligvis stadig ikke finde et svar, eller du kan finde ud af, at begge opfattelser findes i forskellige “samfund”) Med min opfattelse vil jeg sige, at formen i OP ikke er ubestemt og evalueres til 1 (jeg læste notationen som \ left (\ text {nøjagtigt) 1 \ højre) ^ \ infty i modsætning til \ left (\ rightarrow 1 \ right) ^ \ infty). Jeg understreger vigtigheden af at forstå denne subtilitet, fordi mange af os rent faktisk vil fortsætte (jeg ved) med at evaluere (efter en eller anden standard / konventionel metode) spørgsmålene af typen: \ lim\_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ lfloor 1 + x \ rfloor ^ {\ rightarrow \ infty} (kun højre hånds grænse) når svaret skal være klart ved synet ( de “ukendte” parenteser står for gulvfunktionen).